算法训练营 day46 动态规划 最后一块石头的重量 II 目标和 一和零
最后一块石头的重量 II
1049. 最后一块石头的重量 II - 力扣（LeetCode）
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
是不是感觉和昨天讲解的416. 分割等和子集非常像了。
本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。
对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。
接下来进行动规五步曲：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。
- 确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
- dp数组如何初始化
因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。
- 确定遍历顺序
如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
- 举例推导dp数组
举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：
一维dp数组
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int sum = 0;
for (int a : stones) {
sum += a;
}
int target = sum / 2;
int[] dp = new int[target + 1];
for (int i =0; i < stones.length; i++) {
for (int j = target; j >=stones[i]; j--) {
if (j < stones[i]) {
dp[j] = dp[j];
} else {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
}
return (sum - dp[target]) - dp[target];
}
}
二维dp数组
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int sum = 0;
for (int a : stones){
sum += a;
}
int target = sum/2;
int[][] dp = new int[stones.length][target+1];
for (int j = stones[0]; j <=target; j++) {
dp[0][j] = stones[0];
}
for (int i = 1; i <stones.length; i++) {
for (int j = 1; j <=target; j++) {
if (j<stones[i]){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-stones[i]]+stones[i]);
}
}
}
return (sum - dp[stones.length - 1][target]) - dp[stones.length - 1][target];
}
}
目标和
494. 目标和 - 力扣（LeetCode）
给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。
所以我们要求的是 x - (sum - x) = target
x = (target + sum) / 2
此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。
这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。
大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。
这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的
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确定dp数组以及下标的含义
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
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确定递推公式
只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。
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dp数组如何初始化
从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
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确定遍历顺序
对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。
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举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
dp数组状态变化如下：
一维dp数组
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
}
int S = (sum + target) / 2;
if (sum < Math.abs(target)) return 0;
if ((target + sum) % 2 != 0) return 0;
int[] dp = new int[S + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for (int j = S; j >=nums[i]; j--) {
dp[j] +=dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[S];
}
}
二维dp数组
public static int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
}
int S = (sum + target) / 2;
if (sum < Math.abs(target)) return 0;
if ((target + sum) % 2 != 0) return 0;
int[][] dp = new int[nums.length + 1][S + 1];
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= nums.length; i++) {
for (int j = 0; j <= S; j++) {
if (j < nums[i - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
}
}
}
return dp[nums.length][S];
}
一和零
474. 一和零 - 力扣（LeetCode）
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！
而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。 -
确定递推公式
dp[i][j]可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。dp[i][j]就可以是dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。然后我们在遍历的过程中，取
dp[i][j]的最大值。所以递推公式：
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1); -
dp数组如何初始化
因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
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确定遍历顺序
物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。
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举例推导dp数组
以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示：
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for (String str : strs) {
int oneNum = 0, zeroNum = 0;
for (char c : str.toCharArray()) {
if (c == '0') zeroNum++;
else oneNum++;
}
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
![【LeetCode】打家劫舍 III [M]（递归）](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/d6b54ad3b4e46f412a369c36e3339627.jpeg)
