808. 分汤 : 挺有意思的 DP 题

news2025/1/23 2:19:59

题目描述

这是 LeetCode 上的 808. 分汤 ，难度为中等。

Tag : 「数学」、「动态规划」、「线性 DP」

有 A 和 B 两种类型的汤。一开始每种类型的汤有 n 毫升。有四种分配操作：

提供 100ml 的汤A 和 0ml 的汤B 。
提供 75ml 的汤A 和 25ml 的汤B 。
提供 50ml 的汤A 和 50ml 的汤B 。
提供 25ml 的汤A 和 75ml 的汤B 。

当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为 0.25 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。

注意不存在先分配 100 ml 汤B 的操作。

需要返回的值：汤A 先分配完的概率 + 汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 10^{-5}10−5 的范围内将被认为是正确的。

示例 1:

输入: n = 50

输出: 0.62500

解释:如果我们选择前两个操作，A 首先将变为空。
对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。
对于第四个操作，B 首先将变为空。
所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。
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示例 2:

输入: n = 100

输出: 0.71875
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提示:

0 <= n <= 10^90<=n<=109

数学 + 动态规划

四种分配方式都是 2525 的倍数，因此我们可以将 nn 进行除以 2525 上取整的缩放操作，并将四类操作等价成：

提供 4ml 的汤A 和 0ml 的汤B 。
提供 3ml 的汤A 和 1ml 的汤B 。
提供 2ml 的汤A 和 2ml 的汤B 。
提供 1ml 的汤A 和 3ml 的汤B 。

定义 f[i][j]f[i][j] 为汤A 剩余 ii 毫升，汤B 剩余 jj 毫升时的最终概率（概率 = 汤A先分配完的概率 + 汤A和汤B同时分配完的概率 \times 0.5概率=汤A先分配完的概率+汤A和汤B同时分配完的概率×0.5）。

最终答案为 f[n][n]f[n][n] 为最终答案，考虑任意项存在为 00 情况时的边界情况：

若 i = 0i=0 且 j = 0j=0，结果为 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}0+21=21，即有 f[0][0] = 0.5f[0][0]=0.5
若 i = 0i=0 且 j > 0j>0，结果为 1 + 0 = 11+0=1，即有 f[0][X] = 1f[0][X]=1，其中 X > 1X>1
若 i > 0i>0 且 j = 0j=0，结果为 0 + 0 = 00+0=0，即有 f[X][0] = 0f[X][0]=0，其中 X > 1X>1

其余一般情况为 ii 和 jj 均不为 00，由于四类操作均为等概率，结合题意和状态定义可知：

f[i][j] = \frac{1}{4} \times (f[i - 4][j] + f[i - 3][j - 1] + f[i - 2][j - 2] + f[i - 1][j - 3])f[i][j]=41×(f[i−4][j]+f[i−3][j−1]+f[i−2][j−2]+f[i−1][j−3])

由于 n = 1e9n=1e9，即使进行了除 2525 的缩放操作，过多的状态数仍会导致 TLE。

此时需要利用「返回值在正确答案 10^{-5}10−5 的范围内将被认为是正确的」来做优化（一下子不太好想到）：由于四类操作均是等概率，单个回合期望消耗汤 A 的量为 2.52.5，消耗汤 B 的量为 1.51.5。

因此当 nn 足够大，操作回合足够多，汤 A 将有较大的概率结束分配，即当 nn 足够大，概率值会趋向于 11。

我们考虑多大的 nn 能够配合精度误差 10^{-5}10−5 来减少计算量：一个可行的操作是利用上述的 DP 思路 + 二分的方式找到符合精度要求的验算值（不超过 200200）。

Java 代码：

class Solution {
    public double soupServings(int n) {
        n = Math.min(200, (int) Math.ceil(n / 25.0));
        double[][] f = new double[n + 10][n + 10];
        f[0][0] = 0.5;
        for (int j = 1; j <= n; j++) f[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                double a = f[Math.max(i - 4, 0)][j], b = f[Math.max(i - 3, 0)][Math.max(j - 1, 0)];
                double c = f[Math.max(i - 2, 0)][Math.max(j - 2, 0)], d = f[Math.max(i - 1, 0)][Math.max(j - 3, 0)];
                f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d);
            }
        }
        return f[n][n];
    }
}
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Python 代码：

class Solution:
    def soupServings(self, n: int) -> float:
        n = min(200, math.ceil(n / 25))
        f = [[0] * (n + 10) for _ in range(n + 10)]
        f[0][0] = 0.5
        for j in range(1, n + 10):
            f[0][j] = 1
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                a, b = f[max(i - 4, 0)][j], f[max(i - 3, 0)][max(j - 1, 0)]
                c, d = f[max(i - 2, 0)][max(j - 2, 0)], f[max(i - 1, 0)][max(j - 3, 0)]
                f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d)
        return f[n][n]
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