蓝桥杯2024省A.成绩统计

题目

题目解析与思路

题目要求返回至少要检查多少个人的成绩，才有可能选出k名同学，他们的方差小于一个给定的值 T

二分枚举答案位置，将答案位置以前的数组单独取出并排序，然后用k长滑窗O(1)计算方差

问题在于如何O(1)计算方差？

将方差公式拆开，发现V_i²可以通过提前预处理前缀平方和得到，∑v_i可以用前缀和得到，因此需要提前处理前缀平方和与前缀和

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N=2e5+5;
const int mod=998244353;
vector<int> v;
int n,k,t;
int a[N],qsum[N],qpf[N];
bool check(int mid){
    //将前mid个元素取出，并排序
    for(int i=1;i<=mid;i++) a[i] = v[i];
    sort(a+1,a+mid+1);
    //前缀和 前缀平方和
    qsum[0] = 0,qpf[0] = 0;
    for(int i=1;i<=mid;i++) qsum[i]=qsum[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=mid;i++) qpf[i]=qpf[i-1]+a[i]*a[i];
    
    double jun=0,fc=0;
    //先计算前k个
    for(int i=1;i<=k;i++) jun += (double)a[i]/k;
    fc = (double)(qpf[k]-(double)2*jun*qsum[k]+(double)k*jun*jun)/k;
    //用增量更新
    for(int i=k+1;i<=mid;i++){
        jun = jun-(double)a[i-k]/k + (double)a[i]/k;
        fc = min(fc,(qpf[i]-qpf[i-k] - (double)2*jun*(qsum[i]-qsum[i-k])+(double)k*jun*jun)/k);
        if(fc < t) return true;
    }
    if(fc < t) return true;
    return false;
}
signed main(){
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    
    cin>>n>>k>>t;
    v.resize(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i];
    }
    int l=k,r=n,ans=LLONG_MAX;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)) ans=min(ans,mid),r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    if(ans > LLONG_MAX/2) cout<<-1<<endl;
    else cout<<ans<<endl;
}