回归可以用于预测多少的问题，预测房屋出售价格，棒球队可能获胜的的常数或者患者住院的天数。

事实上，我们也对分类问题感兴趣，不是问 多少，而是问哪一个

1 某个电子邮件是否属于垃圾邮件

2 某个用户可能注册还是不注册订阅服务

3 某张图像描绘的是驴，狗，还是级？

4 某人接下来最有可能看哪部电影。

通常，机器学习实践者用分类问题描述两个有微妙差别的问题，如果我们支队样本的硬性类别感兴趣，就属于某个类别。如果我们希望得到软性类别，就属于某个类别的概率。 这两者的界限往往很模糊，其中的一个原因是，即使我们只关心硬性类别，我们也仍然使用软性类别的模型。

3.4.1 分类问题

从一个图像分类问题开始，每次输入一个2像素x2的灰度图像，每张图像对应4个特征，x1,x2,x3,x4.此外，假设每张图像属于类别猫，集盒狗中的一个。

接下来，我们要选择如何表示标签， 我们有两个明显的选择，最直接的想法式选择y 属于{1,2,3}其中整数分别对应 狗，猫，鸡。这是计算机上存储此类信息的有效方法。如果类别有一定的自然顺序，假如我们试图预测{婴儿，儿童，青少年，中年人，老年人}，那么这个问题可以转变为回归问题，并且保留这种格式是有意义的。

但是一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关，幸运的是，统计学家很早以前就写明了一种表示分类的简单方法，独热编码，独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多，类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0，在我们的例子中，标签y将是一个三维向量，其中(1,0,0)对应猫，(0,1,0)对应鸡,(0,0,1)对应为狗

3.4.2 网络架构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个由多个输出的模型，每个类别对应一个输出，为了解决现行模型的分类问题，我们需要和输出一个多的放射函数，每个输出对应它自己的放射函数，在我们例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的w），3个标量来表示偏置（带下标的b）下面我们为每个输入计算3个未规范化的预测logit

:O1,..On

O1 = x1w11 + x2W12 + x3w13 +b1

O1 = x1w21 + x2W22 + x3w23 +b2

O1 = x1w31 + x2W32 + x3w33 +b3

我们可以用神经网络图像来描述这个计算过程，如图3-4所示，与线性回归一样，softmax回归也是一个单层的神经网络，由于计算每个输出o1,o2和o1取决于所有输入x1,x2,.x3和x4 因此softmax回归的输出层也是全连接层。

为了更简洁的表达模型，使用线性代数符号，通过向量形式表示为O = WX + b这是一种更适合数学和编写代码的形式，由此，我们已经将所有权重放到一个3x4矩阵中，对于给定数据样本的特征x，我们的输出是由权重与输入特征进行局长-向量 乘法再加上偏置b得到的。

3.4.3 全链路层的参数开销

正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在，然而，顾名思义，全连接层是完全连接的，可能有很多可学习的参数，具体来说，对于任何具有d个输入和q个输出的全连接层，参数开销为O(dq)，这个数字在实践中可能高得令人望而却步，幸运的是，将d个输入转换为q个输出的成本可以减少到O(dq/n)，其中超参数n可以由我们灵活指定，以在实际应用中在参数节省和模型有效性之间进行权衡。

3.4.4 softmax运算

现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率，为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出Yi可以视为属于类j的概率，然后选择具有最大输出值的类别argmaxxi,yi作为我们的预测，例如，如果yi,y2,和y3分别为0.1,0.8和0.1 那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表鸡。

然而我们能否将未规范化的预测O直接视作我们感兴趣的输出呢？答案是否定的，因为将现行层的输出直接视为概率时存在一些问题，一方面，我们没有限制这些输出数值的总和为1，线性层的输出直接视为概率时存在一些问题一方面，我们没有限制这些输出数值的总和为1，另一方面，根据输入的不同输出可以为负值，这些违反了2.6节中所述的概率论基本公里。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1，此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准的估计概率。例如，分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本中刚好有一半实际上属于预测的类，这个属性叫作校准。

在社会科学家于1959奶奶在选择模型理论的基础上发明的softmax函数正是这样做的；softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持可导的性质。为了实现这一目标，我们首先对每个未规范化的概率求幂，这样可以确保输出非负值，为了确保最终输出的概率值纵隔为1，我们再让每个求幂后的结果除以结果的总和，如下式。

Y^ = softmax(a),其中Yi^ = exp(Oj)/sigma exp(Oi)

这里对于所有的J总有0 <= Yj^ <=1，因此,y^可以视为一个正确的概率分布，softmax运算不会改变未规范化的预测O之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率，因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式选择最优可能的类别。

argmax Y^j = argmax Oj

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归输出仍然由输入特征的放射变换决定，因此，softmax回归是一个线性模型。