26考研|数学分析：定积分及应用

news2025/3/30 15:04:46

这一部分作为数学分析的灵魂，在数学分析的计算中，绝大部分的问题都可以转换成定积分的计算问题，所以在这部分的学习中，一定要注意提升计算能力，除此之外，由积分引出的相关积分不等式也是分析的重点和难点，需要重点掌握。

课本简单概括

9.1定积分概念

这一小节简要介绍了顶积分问题提出的背景，以及给出了严格的定积分的推导过程与定义，要熟悉“分割→求和→取极限”这一思考路线。

9.2牛顿—莱布尼茨公式

这一小节给出了关于定积分计算的具体公式，运用N-L公式，借助积分与原函数的关系进行计算。

9.3可积条件

这一小节是本章的重点，重点讨论了一个函数是否可积的问题。首先给出了可积的必要条件——可积必有界；接着运用达布上和与达布下和之间的关系介绍了可积的充要条件，这一条件需要重点理解，尤其是关于振幅的描述，在证明题中，有关振幅形式的表述形式常常出现；最后介绍了可积函数类，即可积的充分条件：连续必可积、存在有限个间断点的有界函数必可积（单点不影响积分）、单调函数必可积。这一节的各个结论均需要深刻理解，掌握证明思路。

9.4定积分的性质

这一小节是本章的重点，首先介绍了包括线性、积分区间可加性等定积分的基本性质，要重点关注积分不等式性。接着介绍了积分第一中值定理，并由此引出了积分平均值这一概念。

9.5微积分学基本定理·定积分计算（续）

这一小节是本章的难点，首先介绍了变限积分这一新概念，要掌握变限积分求导的方法，紧接着借助变限积分引入了关于原函数存在性的讨论，得出了“连续函数必有原函数”这一基本结论。接着介绍了积分第二中值定理，这一定理在积分不等式的证明题中有诸多应用。然后介绍了定积分中的换元积分法与分部积分法，这些与不定积分的差别不大，注意计算技巧即可。最后介绍了泰勒公式的积分型余项的形式。