插值法笔记 ——武汉理工统计周

符号	含义
$l_i(x)$	拉格朗日基函数，满足 $l_i(x_j) = \delta_{ij}$
$\delta_{ij}$	克罗内克函数，当 $i = j$ 时为1，否则为0
$x_i$	互不相同的插值节点

$\geq 1$ 时的插值公式

目标：希望找到 $l_i(x_j)$ ，满足下式：
$l_i(x_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases} \quad (i,j=0,1,\dots,n)$

然后令：
$L_n(x) = \sum_{i=0}^n l_i(x) y_i \quad \text{显然满足} \quad L_n(x_i) = y_i$

零点分析：
每个基函数 $l_i(x)$ 在 $n$ 个节点处取零值：
$l_i(x_j) = 0 \quad (j \neq i)$
即多项式可表示为：
$l_i(x) = C_i \prod\_{\substack {j=0 \ j \neq i}}^n (x - x_j)$
归一化条件：
通过 $l_i(x_i) = 1$ 确定常数 $C_i$ ：
$C_i = \frac{1}{\prod\_{\substack{j=0 \ j \neq i}}^n (x_i - x_j)}$
最终基函数表达式

$l_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \ j \neq i}}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$

一点零次插值、线性插值、抛物插值公式

一点零次插值

条件：仅1个节点 $x_0, y_0)$

多项式：
$L_n(x) = y_0$

两点一次插值（线性插值）

条件：2个节点 $x_0, y_0)$ 和 $x_1, y_1)$

多项式：
$L_1(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} y_1$

等价形式：
$L_1(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0)$

三点二次插值（抛物插值）

条件：3个节点 $x_0, y_0)$ ， $x_1, y_1)$ ， $x_2, y_2)$
多项式：
$L_2(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} y_0 + \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} y_1 + \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} y_2$

插值余项与误差估计

条件：

函数 $f^{(n)}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续
$f^{(n+1)}(x)$ 在 $(a, b)$ 内存在
$L_n(x)$ 是满足插值条件的 $n$ 次多项式，插值节点为 $\leq x_0 < x_1 < \cdots < x_n \leq b$ （ $n + 1$ 个）

结论：
$R_n(x) = f(x) - L_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{j=0}^n (x - x_j)$
其中 $\xi \in (a, b)$ ，且 $\xi$ 的值依赖于 $x$ 。

误差上界估计

若记 $\max_{x \in [a,b]} |f^{(n+1)}(x)| = M_{n+1}$ ，则余项绝对误差满足：
$|R_n(x)| \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!} \cdot |\omega_{n+1}(x)|$
其中 $\omega_{n+1}(x) = \prod_{j=0}^n (x - x_j)$ 为节点多项式。

进一步地，节点多项式的展开形式为：
$\omega_{n+1}(x) = (x - x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_n)$

节点多项式在节点 $x_k$ 处的导数为：
$\omega'_{n+1}(x_k) = (x_k - x_0)\cdots(x_k - x_{k-1})(x_k - x_{k+1})\cdots(x_k - x_n)$

拉格朗日插值多项式 $L_n(x)$ 可表示为：
$L_n(x) = \sum_{k=0}^{n} y_k \frac{\omega_{n+1}(x)}{(x - x_k)\omega'_{n+1}(x_k)}$

节点多项式 $\omega_{n + 1}(x)$ 是 $(n + 1)$ 个线性因子的乘积。
导数 $\omega'_{n + 1}(x_k)$ 计算时排除 $x_k - x_k)$ 项。
基函数构造 $\frac{\omega_{n + 1}(x)}{(x - x_k)}$ 确保在 $x = x_k$ 时取值为 1。

n = 1 时，线性插值余项
$R_1(x) = \frac{1}{2} f''(\xi) \omega_2(x) = \frac{1}{2} f''(\xi) (x - x_0)(x - x_1), \quad \xi \in [x_0, x_1] ]$

n = 2 时，抛物插值余项
$R_2(x) = \frac{1}{6} f'''(\xi) (x - x_0)(x - x_1)(x - x_2), \quad \xi \in [x_0, x_2] ]$

差商与牛顿插值

差商及其性质

差商（均差）的定义

1 阶差商
$f[x_i, x_j] = \frac{f(x_i) - f(x_j)}{x_i - x_j} \quad (i \neq j, x_i \neq x_j) ]$
2 阶差商
$f[x_i, x_j, x_k] = \frac{f[x_i, x_j] - f[x_j, x_k]}{x_i - x_k} \quad (i \neq k) ]$
$k + 1$ 阶差商
$f[x_0, \ldots, x_{k + 1}] = \frac{f[x_0, x_1, \ldots, x_k] - f[x_1, \ldots, x_k, x_{k + 1}]}{x_0 - x_{k + 1}} = \frac{f[x_0, \ldots, x_{k - 1}, x_k] - f[x_0, \ldots, x_{k - 1}, x_{k + 1}]}{x_k - x_{k + 1}} ]$

k 阶差商必须由 $k + 1$ 个节点构成， $k$ 个节点是构造不出 $k$ 阶差商的。

差商的值与 $x_i$ 顺序无关。

差商性质

k 阶差商的线性组合
k 阶差商可以表示为函数值 $f(x_0), f(x_1), \ldots, f(x_k)$ 的线性组合，即
$f[x_0, x_1, \ldots, x_k] = \sum_{j = 0}^k \frac{f(x_j)}{(x_j - x_0) \cdots (x_j - x_{j - 1})(x_j - x_{j + 1}) \cdots (x_j - x_k)} \text{（用数学归纳法证明）} ]$
对称性
差商具有对称性，即
$f[x_0, x_1, \ldots, x_k] = f[x_1, x_0, x_2, \ldots, x_k] = \cdots = f[x_1, \ldots, x_k, x_0] ]$
与导数的关系
若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有 $n$ 阶导数，且节点 $x_i \in [a, b]$ （ $\ldots, n$ ），则 $n$ 阶差商与 $n$ 阶导数有如下关系式：
$f[x_0, x_1, \ldots, x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} ]$
其中 $\xi \in [a, b]$ 。
多项式性质
若 $f (x)$ 是 $n$ 次多项式，则其 $k$ 阶差商 $f[x_0, x_1, \ldots, x_{k - 1}, x]$ 当 $\leq n$ 时是一个 $n - k$ 次多项式，而当 $k > n$ 时恒为零。

差商表

$x_i$	$f(x_i)$	一阶差商	二阶差商	三阶差商
$x_0$	$f(x_0)$
$x_1$	$f(x_1)$	$f[x_0, x_1]$
$x_2$	$f(x_2)$	$f[x_1, x_2]$	$f[x_0, x_1, x_2]$
$x_3$	$f(x_3)$	$f[x_2, x_3]$	$f[x_1, x_2, x_3]$	$f[x_0, x_1, x_2, x_3]$

牛顿插值

Newton 插值是通过选取特殊的基函数来实现的，这时，取
$\varphi_0(x) = 1 ]$
$\varphi_{i + 1}(x) = (x - x_i)\varphi_i(x), \quad i = 0, 1, \ldots, n - 1 ]$
作为 Newton 插值的以 $x_0, x_1, \ldots, x_n$ 为节点的基函数，而次数不超过 $n$ 的多项式 $N_n(x)$ 可表示为
$N_n(x) = c_0 + c_1(x - x_0) + c_2(x - x_0)(x - x_1) + \cdots + c_n(x - x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_{n - 1}) ]$
其中 $c_0, c_1, \ldots, c_n$ 是待定系数。
下面推导待定系数：
$f(x_0) = N_n(x_0) = c_0$

$f(x_1) = N_n(x_1) = c_0 + c_1(x_1 - x_0) = f(x_0) + c_1(x_1 - x_0)$

$c_1 = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = f[x_0, x_1]$

通过插值条件运用数学归纳法可以求得：
$c_k = f[x_0, x_1, \ldots, x_k]$

因此，得到满足插值条件的 $n$ 次插值多项式：
$N_n(x) = c_0 + c_1(x - x_0) + c_2(x - x_0)(x - x_1) + \cdots + c_n(x - x_0)\cdots(x - x_{n-1})$

余项的推导
$f(x_0) + (x - x_0)f[x, x_0] \quad \text{(1)}$

$x_0] = f[x_0, x_1] + (x - x_1)f[x, x_0, x_1] \quad \text{(2)}$

$\vdots$

$x_0, \ldots, x_{n-1}] = f[x_0, \ldots, x_n] + (x - x_n)f[x, x_0, \ldots, x_n] \quad \text{(n-1)}$

将上述等式依次代入并累加：
$\text{(1)} + (x - x_0) \times \text{(2)} + \cdots + (x - x_0)\cdots(x - x_{n-1}) \times \text{(n-1)}$

最终得到：
$f(x_0) + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + \cdots + f[x_0, \ldots, x_n](x - x_0)\cdots(x - x_{n-1}) + f[x, x_0, \cdots, x_n](x - x_0)\cdots(x - x_{n-1})(x - x_n)$

$c_i = f[x_0, \ldots, x_i]$

$R_n(x) = f[x, x_0, \ldots, x_n](x - x_0)\cdots(x - x_{n-1})(x - x_n) = f[x, x_0, \ldots, x_n]\omega_{n+1}(x)$

$\omega_{n+1}(x) = (x - x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_n)$

注：
由插值多项式的唯一性可知 $N_n(x) \equiv L_n(x)$ ，故其余项也相同，即：
$x_0, \ldots, x_n] \omega_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x)$

进一步可得差商与导数的关系：
$f[x_0, \ldots, x_k] = \frac{f^{(k)}(\xi)}{k!}, \quad \xi \in (x_{\min}, x_{\max})$

差分形式的牛顿插值公式

节点等距分布条件：
当节点满足等距分布时：
$x_i = x_0 + ih \quad (i = 0, \ldots, n) ]$

向前差分
$\Delta f_i = f_{i+1} - f_i ]$
$\Delta^k f_i = \Delta(\Delta^{k-1}f_i) = \Delta^{k-1}f_{i+1} - \Delta^{k-1}f_i ]$

向后差分
$\nabla f_i = f_i - f_{i-1} ]$
$\nabla^k f_i = \nabla(\nabla^{k-1}f_i) = \nabla^{k-1}f_i - \nabla^{k-1}f_{i-1} ]$

中心差分
$\delta f_i = f_{i+\frac{1}{2}} - f_{i-\frac{1}{2}} \quad \text{其中} \quad f_{i\pm\frac{1}{2}} = f\left(x_i \pm \frac{h}{2}\right) ]$
$\delta^k f_i = \delta^{k-1}f_{i+\frac{1}{2}} - \delta^{k-1}f_{i-\frac{1}{2}} ]$

差分的重要性质：

差分可由函数值计算
$\Delta^n f_k = \sum_{j=0}^n (-1)^{j} \binom{n}{j} f_{n+k-j} ]$
$\nabla^n f_k = \sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} \binom{n}{j} f_{k+j-n} ]$
其中：
- $\binom{n}{j} = \frac{n(n-1)\cdots(n-j+1)}{j!}$ 是二项式系数。
函数值可由差分值算出
$f_{n+k} = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} \Delta^j f_k ]$
差商和差分的关系
$f[x_k, x_{k+1}, \ldots, x_{k+m}] = \frac{1}{m! h^m} \Delta^m f_k ]$
$f[x_k, x_{k-1}, \ldots, x_{k-m}] = \frac{1}{m! h^m} \nabla^m f_k ]$
差分与导数的关系
$\Delta^n f_k = h^n f^{(n)}(\xi), \quad \xi \in (x_k, x_{k+n}) ]$

牛顿公式：
$N_n(x) = f(x_0) + f[x_0, x_1](x - x_0) + \cdots + f[x_0, \ldots, x_n](x - x_0)\cdots(x - x_{n-1}) ]$

牛顿前插公式：
设 $x = x_0 + th$ （ $\leq t \leq 1$ ），则
$N_n(x) = N_n(x_0 + th) = \sum_{k=0}^{n} \binom{t}{k} \Delta^k f(x_0) ]$
余项：
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} t(t-1)\cdots(t-n) h^{n+1}, \quad \xi \in (x_0, x_n) ]$

牛顿后插公式：
将节点顺序倒置：
$N_n(x) = f(x_n) + f[x_n, x_{n-1}](x - x_n) + \cdots + f[x_n, \ldots, x_0](x - x_n)\cdots(x - x_1) ]$
设 $x = x_n + th$ （ $\leq t \leq 0$ ），则
$N_n(x) = N_n(x_n + th) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{-t}{k} \nabla^k f(x_n) ]$
余项：
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} t(t+1)\cdots(t+n) h^{n+1}, \quad \xi \in (x_0, x_n) ]$