🔍 2025蓝桥杯备赛Day13——P10984 [蓝桥杯 2023 国 Python A] 残缺的数字

🚀 题目速览

题目难度：⭐⭐⭐（需掌握位运算与组合数学）

考察重点：二进制状态处理、位运算、乘法原理、枚举

P10984 [蓝桥杯 2023 国 Python A] 残缺的数字

题目描述

七段码显示器是一种常见的显示数字的电子元件，它有七个发光管组成：

上图依次展示了数字 $0\sim 9$ 用七段码来显示的状态，其中灯管为黄色表示点亮，灰色表示熄灭。根据灯管的亮暗状态，我们可以用一个状态码（状态码是一个 $7$ 位的二进制数字）来表示一个七段码，令灯管点亮时状态为 $1$，灯管熄灭时状态为 $0$，按照灯管 $\mathrm{ABCDEFG}$ 的顺序标识一个七段码，则数字 $0\sim 9$ 的状态码为：

数字	状态码	数字	状态码
$0$	$1111110$	$5$	$1011011$
$1$	$0110000$	$6$	$1011111$
$2$	$1101101$	$7$	$1110000$
$3$	$1111001$	$8$	$1111111$
$4$	$0110011$	$9$	$1111011$

小蓝有一个喜爱的数字，长度为 $18$ 位，每一位用一个七段码显示器来展示
（每位只能是 $0\sim 9$，可以包含前导零），由于灯管故障，一些本该点亮的灯管
处于了熄灭状态。例如，对于一个长度为 $2$ 的数字来说，当两个七段码对应的
状态码分别为：$1011111$（高位）、$1110011$（低位）时，原本的数字可能会是：
$68$、$69$、$88$、$89$，有 4 种可能的值。

$18$ 个七段码显示器对应的状态码分别为：

$0000011$，$1001011$，$0000001$，$0100001$，$0101011$，$0110110$，
$1111111$，$0010110$，
$0101001$，$0010110$，
$1011100$，$0100110$，
$1010000$，$0010011$，
$0001111$，$0101101$，
$0110101$，$1101010$。

其中每个表示一个七段码对应的的状态码（按照数字的高位到低位给出）。请你
判断下小蓝喜爱的数字有多少种可能的值。

输入格式

无

输出格式

一行一个整数表示答案。

(题目意思就是说18个七段码有多少种有效组合，

有效的例子：

1. 二进制解析：
   • 对应七段码的灯管状态为：GFEDCBA = 0000011
   • 即只有 G段 和 F段 亮起 !
2. 寻找有效数字：
   • 检查数字0-9的原始亮灯状态是否包含G和F段亮起
   • 数字1的原始状态码：0110000（GFEDCBA）
     • G=0，F=0 → 不满足
   • 数字7的原始状态码：1110000
     • G=1，F=1 → 满足
   • 结论：该状态码对应有效数字可能为7

然后把这些可能在这18位数中进行组合)

🔥 核心解法：位运算 + 组合乘法

🛠️ 实现思路

1. 二进制状态编码
   • 将每个七段码状态转换为整数（二进制处理）
   • 预计算数字0-9的标准七段码二进制值
2. 状态匹配检测
   • 对每个输入状态码，检查其是否为某数字标准码的子集
   • 统计每个位置的有效数字数量
3. 组合乘法
   • 所有位置的有效数字数量相乘得到最终结果

🛠️ C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>

using namespace std;

// 将7位二进制字符串转换为整数
int str_to_bits(const string& s) {
    int res = 0;
    for (char c : s) {          // 遍历每个字符
        res = (res << 1) |      // 左移腾出新位
              (c - '0');        // 转换字符为0/1
    }
    return res;
}

int main() {
    // 数字0-9的标准七段码（字符串形式）
    const vector<string> digit_codes = {
        "1111110", "0110000", "1101101", "1111001",
        "0110011", "1011011", "1011111", "1110000",
        "1111111", "1111011"
    };
    
    // 预计算数字对应的二进制值
    int digit_values[10];
    for (int i = 0; i < 10; ++i) {
        digit_values[i] = str_to_bits(digit_codes[i]);
    }

    // 题目给定的18个状态码
    const vector<string> input_codes = {
        "0000011", "1001011", "0000001", "0100001",
        "0101011", "0110110", "1111111", "0010110",
        "0101001", "0010110", "1011100", "0100110",
        "1010000", "0010011", "0001111", "0101101",
        "0110101", "1101010"
    };

    // 转换输入状态码为整型
    vector<int> states;
    for (const auto& code : input_codes) {
        states.push_back(str_to_bits(code));
    }

    // 计算总可能性
    long long total = 1;
    for (int state : states) {
        int valid_count = 0;
        for (int i = 0; i < 10; ++i) {  // 遍历所有数字
            // 关键判断：输入状态是数字状态的子集
            if ((digit_values[i] & state) == state) {
                ++valid_count;
            }
        }
        total *= valid_count;
    }

    cout << total << endl;  // 输出最终结果
    return 0;
}

📚 关键知识点解析

一、二进制状态处理

操作	代码实现	作用
字符串转二进制	`(res << 1)	(c - ‘0’)`
状态匹配检测	(digit & input) == input	验证输入状态是数字状态的子集

二、按位或运算符 |

作用：将两个数的二进制对应位进行逻辑或运算（任意一位为1则结果为1）

示例：

Cppint a = 5;      // 00000101
int b = 3;      // 00000011
int c = a | b;  // 00000111（十进制7）

代码中的作用：

• res = ... | (c - '0') 将新位（0或1）拼接到结果末尾
• 相当于二进制位的动态拼接

三、字符转换 c - '0'

作用：将字符 '0' 或 '1' 转换为整数 0 或 1

原理：

• 字符 '0' 的ASCII码是48，'1' 是49
• '0' - '0' = 0，'1' - '0' = 1

🚨 易错点警示

错误1：位运算优先级错误

// 错误写法：缺少括号导致逻辑错误
if (digit & state == state) 

// 正确写法
if ((digit & state) == state)

错误2：二进制转换错误

// 错误：逆序处理导致位顺序错误
for (int i = s.size()-1; i >=0; --i)  // 错误处理顺序

// 正确：按字符串顺序处理
for (char c : s)  // 从左到右处理

⚡ 性能分析

操作	时间复杂度	空间复杂度	说明
预处理数字状态	O(10)	O(1)	固定10个数字
处理输入状态	O(18)	O(18)	固定18个状态码
计算有效数	O(18×10)	O(1)	常数级运算
总复杂度	O(1)	O(1)	所有操作均为常数时间

🌟 举一反三

变种题1：动态七段码显示

若七段码显示模式可变（如部分段损坏不可用），需修改状态检测逻辑：

// 添加损坏段掩码
int broken_mask = 0b0010000;  // 假设G段损坏
if ((digit & (state | broken_mask)) == state) {
    // 有效条件需排除损坏段
}

变种题2：多状态可能性查询

若需多次查询不同状态组合，可预先建立数字状态的特征矩阵：

vector<bitset<128>> feature(10);  // 每个数字的状态特征
// 预处理所有可能状态
for (int i=0; i<10; ++i) {
    for (int s=0; s<128; ++s) {
        feature[i][s] = ((digit_values[i] & s) == s);
    }
}

答案验证：运行程序输出 254016000，与Python实现结果一致，验证算法正确性。本解法通过位运算优化，在保证可读性的同时达到最优性能，适合蓝桥杯竞赛场景。