绘图程序

1   核心算法

1.1   图元生成

1.1.1   直线

画直线的算法采用了课上讲到的 Bresenhan 算法，采用整数增量运算，精确而有效的光栅设备生成算法。

基本思想是：当直线斜率的绝对值小于 1 时，从左端点开始作为起点，沿 x 方向单位距离取样，并在每个取样位置都选择离直线路径最近的像素作为线段的离散点。逐个处理每个后继取样位置直到右端点。绝对值大于 1 时则沿 y 方向取样，所有操作对称过来即可。

图 1

|m|＜1 的 Bresenham 画线算法：

输入线的两个端点，并将左端点存贮在(x0,y0)中；

将(x0,y0)装入帧缓冲器，画第一个点；

计算常量：△x、△y、2△y 和 2△y-2△x，起始位置(x0,y0)的决策参数 p0 计算为：p0=2△y-△x

k=0 开始，在每个离散取样点 xk 处，进行下列检测：

若 pk< 0，画点(xk+1,yk)，且：pk+1= pk+2△y；

若 pk 0， 画点(xk+1,yk+1)，且：pk+1=pk+2△y-2△x。

k=k+1；

重复步骤 4，共 △x 次。

1.1.2   圆

画圆算法则采用了中点画圆法，这里之所以不采用 Bresenham 算法，是为了避免平方根运算，而中点画圆法可以直接采用像素与远距离的平方作为判决依据，通过检验两候选像素中点与圆周边界的相对位置关系（圆周边界的内或外）来选择像素。基本思想和上面一样，也是通过决策参数来判定下一步的点应该取在哪里。不过这里只画八分之一个圆即可，剩余部分可利用圆的对称性经过对称变换得到。

图 2

具体算法

输入圆半径 r 和圆心(xc,yc)，并得到圆心在原点的圆周上的第一点为(x0,y0)=(0,r)。

计算圆周点(0,r)的初始决策参数值为：p0=5/4-r；

从 k=0 开始每个取样位置 xk 位置处完成下列检测：

若 pk＜0，选择像素位置：(xk+1,yk)，且：pk+1=pk+2xk+1+1；(决策参数增量计算)

若 pk> 0，选择像素位置：(xk+1,yk-1)，且：pk+1=pk+2xk+1+1-2yk+1。 (决策参数增量计算)

（其中：2xk+1=2xk+2，且 2yk+1=2yk-2）。

确定在其它七个八分圆中的对称点。

将计算出的像素位置(x,y)移动到中心在(xc,yc)的圆路径上，即：对像素位置进行平移：x=x+xc，y=y+yc；

重复步骤 3 到 5，直至 x≥y。

1.1.3   椭圆

画椭圆的算法也采用了中点画椭圆法，与上面的画圆算法比较类似，不同之处主要在于决策参数计算方法不同以及区域分割方式不同。因为椭圆有长短轴之分，所以在绘制时分成四部分。以中心为原点，画完第一象限再对称变换到其他象限。第一象限中又分为两个区域，以斜率绝对值等于一为分界点。

具体算法

输入 rx、ry 和中心(xc,yc)，得到中心在原点的椭圆上的第一个点：(x0,y0)=(0,ry)；

计算区域 1 中决策参数的初值为：p10=ry2-rx2ry+ rx2/4

图 3

在区域 1 中每个 xk 位置处，从 k=0 开始，完成下列测试：

若 p1k<0，椭圆的下一个离散点为(xk+1,yk)，且 p1k+1=p1k+2ry2xk+1+ry2。

若 p1k>0 ，椭圆的下一个离散点为(xk+1,yk-1)，且 p1k+1= p1k+2ry2xk+1-2rx2yk+1+ry2。

（其中：2ry2xk+1=2ry2xk+2ry2；2rx2 yk+1=2rx2yk-2rx2，该过程循环直到：2ry2x≥2rx2y）

使用区域 1 中最后点(x0,y0)来计算区域 2 中参数初值为 p20=ry2(x0+1/2)2+rx2 (y0-1)-rx2ry2

图 4

在区域 2 的每个 yk 位置处，从 k=0 开始，完成下列检测：

若 p2k>0，椭圆下一点选为(xk,yk-1)，且 p2k+1=p2k-2rx2yk+1+rx2,

否则，沿椭圆的下一个点为(xk+1,yk-1)，且 p2k+1=p2k+2ry2 xk+1-2rx2 yk+1+rx2,

使用与区域 1 中相同的 x 和 y 增量计算，该过程循环直到(rx,0)

确定其它三个象限中对称的点。

将每个计算出的像素位置(x,y)平移到中心在(xc,yc)的椭圆轨迹上，并按坐标值画点： x=x+xc，y=y+yc

1.1.4   多边形

多边形就是随着鼠标的点击，不断采集新的端点并把新的点和上一个点连起来。连的方法还是 Bresenham 画直线法，此处不再赘述。

1.1.5   曲线

这里的曲线绘制的是三阶 Bézier 曲线，共有四个控制点。设它们分别为 P0~P3。

则当参数 u 从 0 变化到 1 时，

由公式：P(u)=(1-u)3P0+3u(1-u)2P1+3u2(1-u)P2+u3P3 可得到 P0~P3 所有点。控制 u 每次的增量来调整曲线的连续程度。

具体算法

for from to 1:(每次增加 0.001)

定义四个 double 值：a=(1-u)3、b=3u(1-u)2、c=3u2(1-u)、d=u3

定义点 P，使其 x=aP0x+bP1x+cP2x+dP3x；y=aP0y+bP1y+cP2y+dP3y

添加点 P 到曲线的点集

1.2   图元填充

图元填充算法有圆、椭圆、多边形三种可供填充。这里它们都使用的是扫描线算法。

1.2.1   圆

圆的填充算法较为简单，首先根据圆心的位置和端点的位置得到半径，从而计算出 miny 和 maxy。然后对 y from miny to maxy 进行遍历。根据圆的公式计算出圆与扫描线的两个交点。把两个交点中间的部分设为应该填充的点。

1.2.2   椭圆

椭圆的填充算法与圆基本相同，略微的差别在于计算 miny 与 maxy 时要根据半轴长计算。以及求交点时要根据椭圆的公式来计算。

1.2.3   多边形

多边形的填充算法采用了扫描线算法。大概思想是，找到多边形的最小 y 值和最大 y 值，然后用这个范围内的每一条水平线与多边形相交，通过得到的交点画线段，由此填充整个多边形。

具体通过交点画线段的方法是：

对存储交点的数组进行排序(从小到大)

.数组中数据两两一对，填充每对交点间的线段

于是我们所要做的只有两件事，一是求出扫描线与多边形边的交点，二是对交点数组进行排序。

对于求扫描线与多边形的交点，需要考虑到以下几个特殊情况：

扫描线与边重合

扫描线与边的交点为顶点

该顶点是局部极值，则需要被记录两次

该顶点不是局部极值的顶点，只需要被记录一次

v 判断一个顶点是否为局部极值，可以通过与顶点关联的两条边的另外两个顶点来判断，如果它们在顶点交点的同一侧，则说明是极值，否则不是极值。

1.3   图元编辑变换

1.3.1   寻找图元中点

图元中点在缩放和旋转中都体现了作用。对于直线、圆、椭圆来说，中点很好找。对于多边形和曲线，它们的中点被设为外接矩形的中点。

1.3.2   缩放

对于点（x，y），绕中点 mid 按比例 ratio 变化：

X’=xmid+(x-xmid)*ratio

Y’=ymid+(y-ymid)*ratio

如果直接把每个点进行旋转的话会产生不连续/圆滑的线条，所以应当把图元的关键点按中心缩放后，重新生成需要绘画的点集。

1.3.3   旋转

对于点（x，y）绕（xmid，ymid）旋转得到（x’，y’），基本方法是：

X’=xmid+(x-xmid)cosθ-(y-ymid)sinθ

Y’=ymid+(x-xmid)sinθ+(y-ymid)cosθ

同样地，对于每个图元，把它们的关键点绕中心旋转。然后重新生成点集。需要注意的是，椭圆每次只能旋转 90°，否则旋转后的椭圆将与之前的椭圆定义方式产生差别从而产生问题。

1.3.4   平移

平移较为简单，定义 Offset=（a，y），则：

X’=x+a；

Y’=y+b；

这里可以直接把点集加上 Offset，因为 Offset 的横纵偏移量都为整数。即使多次变换也不会积累误差。

1.3.5   裁剪

这里只实现了对于直线的裁剪。采用了梁友栋算法。

设待裁剪的线段为 AB，其中 A(x1，y1)，B（x2，y2）

设变量 pi 表示第 i 侧 AB 向量从内到外/从外到内。i∈0~3，分别表示左、右、上、下边界。则：

	p0=-Δx	p1=Δx	p2=-Δy	p3=Δy

定义变量 qi 如下：

q0=x1-xwmin

q1=xwmax-x1

q2=y1-ywmin

q3=ywmax-y1

设 r=qi/pi，则 r 为直线与第 i 个边界交点对应的参数值。

设直线参数为 u，线段裁剪后的端点对应参数为 u1 与 u2，其中 u1 更小。

遍历四个方向的 p 和 q 的值

若 pi=0，说明线段与该边界平行。

若 qi<0，说明线段整个都在外部，可以直接 returfalse

否则不做处理，continue。

若 pi<0，说明 AB 从外到内穿过边界，u1 取 u1 和 r 中的较大值

若 pi>0，说明 AB 从内到外穿过边界，u2 取 u2 和 r 中的较小值

遍历结束后若 u1>u2，则说明整个线段都不在窗口内。可以直接舍弃。否则保留该区间之内的线段。

1.4   三维 off 模型载入

直接调用了 qt 的 QGLWidget 的相关库函数，重写了 initializeGL、ResizeGL 等函数。没有用到需要自己实现的算法。

2   系统设计

2.1   环境构建

项目的开发环境如下所示：

操作系统	Windows 10 家庭中文版
编程语言	C++ 11
外部库	Qt 5.4，OpenG2.7
编译器	MinGW 4.9.1 32bit
IDE	Qt Creator 3.3.0

2.2   整体结构概述

系统主要分为两个版块，图形板块与操作板块。其中图形板块主要负责图元的定义与编辑/平移等功能的实现。操作板块则负责对图元进行显示、对一些操作进行触发等。

2.2.1   图形版块

图形版块定义了基本图形类 figure，其余各个图形都继承自 figure。

figure 存储了图元的形状、顶点集合、所有点集合、颜色、中心点、是否在编辑状态、是否填充等信息。

figure 里定义了平移、旋转、编辑等公共操作的虚函数，具体到每个图元会再由图元自身的类对这些功能进行实现。

2.2.2   操作版块

操作板块对应了一个继承自 QLWindow 的类：window。

window 里的主要成员变量如下，包括了所需的画布、画笔、绘画过程中的一些关键点、当前颜色、所有图形的集合、当前绘制图形、当前绘图模式等信息。

window 里主要的成员函数如下，分别用来画某个图形的点集、顶点集、中心点。

window 里的消息处理函数分为两类

菜单消息处理函数，每当点击菜单的某个按钮后，切换当前绘图模式，也就是改变 mode 的值。

鼠标事件处理函数

鼠标事件处理函数包括了按键的点击、移动释放等。每当发生相应事件后，根据当前的模式（mode 的值），进行相应操作。

3   性能测试

性能测试主要指的是各个功能是否顺利实现，而具体功能的测试已经在使用说明中给出。此处不再赘述。

4   结束语

经过本学期的学习，最终实现了一个完整的可执行的图形绘制系统。实践过程中对各种算法有了更深的理解，同时 qt 的 gui 编程也遇到了一些问题，最终解决问题后对 qt 的消息处理机制、三维绘制也有了了解。总的来说还是通过这个作业学到了很多知识。