2024年第十四届MathorCup高校数学建模挑战赛

D题 量子计算在矿山设备配置及运营中的建模应用

原题再现：

  随着智能技术的发展，智慧矿山的概念越来越受到重视。越来越多的设备供应商正在向智慧矿山整体解决方案供应商转型，是否具备提供整体解决方案的能力，也逐步成为众多矿山设备企业的核心竞争力。智慧矿山依靠先进的信息技术和设备自动化，实现矿山开采的高效、安全、环保和智能化。在智慧矿山的运营过程中，如何根据给定的工作量、机型斗容效率、油耗和价格等因素，设计出一套最优的设备配置及运营方案，包括合理采购、分配和使用挖掘机、矿车等重要资源，是提高竞争力的关键QUBO(Quadratic Unconstrained Binary Optimization，二次无约束二值优化)模型是一种适配相干伊辛机(Coherent Ising Machine,CIM)的模型其形式为 min x"Qx,x∈{0,1}"，其中Q为nxn矩阵。本赛题主要基于智慧矿山设备配置及运营方案设计的场景，通过将问题建模为QUBO形式，使用Kaiwu SDK完成对问题的求解。Kaiwu SDK是一套基于相干伊辛机求解QUBO模型的软件开发套件，可以访问本链接(https://developer.qboson.com/sdkDownload)来获取 Kaiwu SDK。附件中提供了QUBO建模的参考资料(附件 1)以及相关的应用案例论文(附件 2，附件3)
  假定你们是智慧矿山项目团队，负责为一家即将投入运营的智慧矿山设计一个综合的设备配置与运营方案，该方案需考虑因素:
  ·挖掘机斗容:不同类型挖掘机的斗容大小(立方米)
  ·挖掘机作业效率:各型号挖掘机作业效率(斗/小时)·矿车装载量:各型号矿车的装载量(立方米)
  ·油耗:各型号挖掘机和矿卡设备的油耗(升/小时)·价格:各型号挖掘机和矿车设备的购买(万元)
  ·人工成本:操作每台挖掘机和矿车的工资、补贴等人工成本(元/月)·  ·维护成本:设备的月维护成本(元/月)
  假设该项目规模及其设备的数据如下:
  ·启动资金 2400万元，计划开采5年。
  ·可选挖掘机有4种，设备参数如下表格1所示:

已购买以下3 种类型的矿车，每种类型的矿车数量分别为7辆、7 辆和3辆，设备参数如表2所示:

  ·挖掘机和矿车按照每月工作 20天，每天工作8小时，油价7元/升。矿石价格为 20 元/立方米。
  ·现实中需要考虑如下约束:
  ·1、在实际作业中，挖掘机与矿车的匹配存在一定约束:
  ··由于挖掘机铲斗宽度和矿车宽度的对应关系，大型号的挖掘机无法匹配小型号的矿车;
  ··为避免装车效率太慢，小型号的挖掘机也不会匹配太大型号的矿车:不同型号的挖掘机与矿车的匹配关系如表3所示:

  ·例如对于一台挖掘机2来讲，至少需要两辆矿车1或者一辆矿车2才能保证作业稳定进行。
  ·2、矿山在实际运营中，需要小型挖掘机兼顾进行修路、搭台、处理边角料等维护作业:同时为保证整体的作业效率，需要一定数量的大型挖掘机。可以归结为:整体包含的挖掘机型号不能少于3种。
  ·3、智慧矿山系统运营过程中的效率按照如下规则计算:
  ·假如挖掘机与矿车的匹配关系恰好时(等于表格内数值)，或者给挖。掘机分配的矿车数量多于表格内数值时，每日作业量以挖掘机效率为准;·
  ·假如给挖掘机分配的矿车数量少，则挖掘机会有部分时间处于等待矿车的状态，则每日作业量为挖掘机效率乘以相应的比例。比如，某挖掘机标准匹配2台矿车，而只安排了1台，则该挖掘机每天的作业量为标准作业量的 1/2。
  ·4、设定以下假设条件:
  ··为简化管理和调度的复杂性，降低因更改匹配而导致的安全事故风险，假设挖掘机和矿车匹配关系是固定不变的;
  ··假设同一型号挖掘机只能匹配同一型号的矿车;
  ·只需要第一年花费挖掘机的采购费用基于以上场景与给出的数据，你们团队需要完成如下任务:
  ·问题 1:假设不考虑挖掘机的使用寿命，表格4中给定了对于每种类型的控掘机能够带来的长期利润的折现值的估计。请对这个化的场景建立 OUBO 模型，求解给出在预算范围内最大化总利润的采购方案，即需要采购的挖掘机型号和对应的数量。分别使用 Kaiwu SDK 内置的模拟退火求解器和 CIM 模拟器对模型进行求解。

  ·问题 2:假设挖掘机和矿车的使用寿命为5年，根据上述因素，建立一个 OUBO 模型，规划需要采购的挖掘机型号和数量，并给出挖掘机和矿车之间的匹配关系,使得5年内的总利润最大化(利润=收益一各种成本)。OUBO 模型的求解使用 Kaiwu SDK 的模拟退火求解器和 CIM 模拟器进行,请尽量减少量子比特的数量(SDK 仅支持 100 比特以内的问题求解)。当模型比特数超出 SDK 限制时，请尝试思考创新性的求解方案。

  ·问题 3:考虑在问题2的场景中，当已购买10 种类型的矿车(参数参考表 5)，可选的挖掘机数量为 10(参数参考表 6)，整体包含的挖掘机型号不能少于5种，挖掘机和矿车的匹配关系如表7所示，启动资金为4000万元时，建立 OUBO 模型并使用 Kaiwu SDK 求解最优的采购方案，并给出挖掘机和矿车之间的匹配关系(提示:当建立的 OUBO 模型比特数较高时，可以尝试例如 subOUBO 等方法对问题进行求解。subOUBO 方法是一种通过量子计算和经典计算结合的方法。通过每次提取一个 OUBO 的子问题，即 subOUBO，求解 subOUBO 得到解后更新原问题的解，通过多次求解 subOUBO 来求解原问题，详见参考附件 4)。


  ·问题 4:请举例一个潜在可以通过构建合适的 QUBO 模型进行决策优化应用场景。这个场景应该具有实际应用意义，有潜力进行规模化应用，并且能够展示量子计算的优势。描述应该包括必要的背景信息、研究方法思路以及预期结果，并提供技术路线图，QUBO 模型表达式和相关参考文献。

整体求解过程概述(摘要)

  本文深入研究了基于QUBO模型的矿山设备配置与运营方案优化问题．首先对智慧矿山设备配置和运营的复杂性进行了问题重述，文中对挖掘机和矿车的匹配关系、采购成本、使用寿命等因素进行了合理简化，以便建立易于处理的数学模型．算法背景介绍探讨了QUBO模型的基本原理、构建方法和kaiwuSDK的功能特点，并提出了利用QUBO模型设计最优设备配置及运营方案的目标，最终实现利润最大化．
  针对问题一：关注于在预算范围内最大化总利润的挖掘机采购方案．通过对挖掘机的长期利润折现值和采购价格进行分析，建立了QUBO模型，并使用kaiwuSDK内置的模拟退火求解器和CIM模拟器进行求解．从理论和实践的角度，将模拟退火算法对结果做对比分析，指出了KaiwuSDK在处理大规模问题时的优点．最后得出结论当挖掘机1、2、3分别购买1、2、10辆时，得到总利润最大，为58000万元．
  针对问题二：在问题一上增加了使用寿命约束，寻求五年内总利润最大化的配置方案，可以使用量子优化算法求解．并且分析了将矿车和挖掘机不完全匹配的情况，研究得出结论在挖掘机1对应矿1需要7辆，挖掘机2对应矿2需要7辆，挖掘机3对应矿3 需要2辆，挖掘机4对应矿3需要1辆时，利润最大585086400元
  针对问题三：在问题二的基础上增加了预算和设备类型的约束，探索最优的采购方案．根据问题二挖掘机和矿车恰好匹配，引入松弛变量和惩罚函数将目标函数转化为QUBO模型的形式，研究得出结论在挖掘机1对应矿3需要2辆，挖掘机2对应矿4需要1辆，挖掘机3对应矿1需要1辆，挖掘机3对应矿2需要1辆，挖掘机3对应矿4需要1辆，挖掘机3对应矿5需要2辆，挖掘机7对应矿6需要1辆，挖掘机10对应矿9需要1辆，挖掘机10对应矿10需要1辆时，利润最大681916400元
  针对问题四：将QUBO模型应用于城市轨道交通末班车衔接优化，提出了一个可实际应用的优化场景，包括背景信息、研究方法思路、预期结果和技术路线图．该问题的解决不仅能够提高城市轨道交通的运营效率，还能为乘客提供更加便捷的换乘服务．针对灵敏度分析：通过改变启动资金和油价等参数，研究了模型对变化的敏感程度，评估了模型的稳定性．有助于理解在不同背景下矿山运营方案的可行性．
  总体而言，本文通过展示了QUBO模型在解决复杂优化问题中的有效性和潜力．通过对矿山运营方案的优化，可以显著提高矿山企业的市场适应性，推动矿业的可持续发展．此外，本文的研究也为量子计算技术在解决组合优化问题提供了有益的参考，展现了量子计算在未来科技发展中的重要价值．

模型假设：

  因为实际中智慧矿山设备配置和运营是一个非常复杂的过程，为了便于建模，我们将问题合理简化并提出以下假设：
  •为简化管理和调度的复杂性，降低因更改匹配而导致的安全事故风险，假设挖掘机和矿车匹配关系是固定不变的；
  •假设同一型号挖掘机只能匹配同一型号的矿车;
  •只需要第一年花费挖掘机的采购费用；

问题重述：

  随着技术进步，智能化矿山逐渐成为行业的焦点．众多提供矿山设备的公司正转变成为提供全面智能化矿山解决方案的供应商，这种转型能力正逐步演变为企业的核心竞争力．智能化矿山利用尖端的信息技术和自动化技术，以提高矿山作业的效率、安全性、环保性和智能化水平．在智能化矿山运营中，关键任务是根据工作量、设备容量、效率、燃油消耗和成本等参数，规划出最优质的设备配置和运营策略．这涉及到对挖掘机、矿车等关键资源的合理采购、分配和使用，这对于提升企业的竞争力至关重要．在本研究案例中，我们的目标是为一家即将开业的智能化矿山制定一套全面的设备配置和运营方案，问题如下：
  问题一：我们不考虑挖掘机的使用寿命，已知给定了每种类型的挖掘机能够带来的长期利润的折现值估计，求给在预算范围（2400万）内最大化总利润的采购方案，即求出需要采购的挖掘机型号和对应的数量．然后分别使用KaiwuSDK内置的的模拟退火求解器和CIM模拟器对模型进行求解．
  问题二：我们假设挖掘机和矿车的使用寿命为5年，已知题目对挖掘机型号种类、矿车数量等约束条件，求解需要采购的挖掘机型号和数量，并给出挖掘机和矿车之间的匹配关系，使得5年内的总利润最大化．
            利润=利益-各种成本
  然后分别使用KaiwuSDK内置的的模拟退火求解器和CIM模拟器对模型进行求解，由于SDK仅支持100比特以内的问题求解，所以求解过程中，我们需要尽量减少量子比特的数量．
  问题三：我们在考虑问题二的场景中，已知已购买的矿车类型是10，可选的挖掘机数量为10，挖掘机和矿车的匹配关系，以及启动资金为4000万元，求解在整体包含的挖掘机型号不能少于5种的情况下最优的采购方案．
  问题四：举出一个潜在可以通过构建合适的QUBO模型进行决策优化应用场景，且这个场景要具有实际应用意义，有潜力进行规模化应用，并且能够展示量子计算的优势．题目要求描述包括背景信息、研究方法、思路和预期结果，并提供技术路线图，QUBO模型表达式和相关参考文献．

模型的建立与求解整体论文缩略图

全部论文请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可

部分程序代码：

import numpy as np
import pandas as pd
from collections import defaultdict
import random
import math

# ---------------------- 数据加载 ----------------------
# 假设数据格式：邻区关系矩阵、冲突/混淆/模3干扰的MR数矩阵
# conflict_mr: 冲突MR矩阵 (2067x2067)
# confusion_mr: 混淆MR矩阵 (2067x2067)
# mod3_mr: 模3干扰矩阵 (2067x2067)

# 此处用随机数据示例，实际替换为真实数据
n = 2067
conflict_mr = np.random.randint(0, 100, (n, n))
confusion_mr = np.random.randint(0, 100, (n, n))
mod3_mr = np.random.randint(0, 100, (n, n))

# ---------------------- 目标函数定义 ----------------------
def calculate_loss(pci_assignment):
    """计算当前PCI分配的总损失"""
    total = 0
    
    # 遍历所有小区对
    for i in range(n):
        for j in neighbors[i]:  # neighbors预先生成邻区列表
            # 冲突MR: 邻区且PCI相同
            if pci_assignment[i] == pci_assignment[j]:
                total += conflict_mr[i][j]
            
            # 模3干扰MR: 邻区且PCI%3相同
            if pci_assignment[i] % 3 == pci_assignment[j] % 3:
                total += mod3_mr[i][j]
        
        # 混淆MR: 检查所有邻区的PCI是否重复
        seen = set()
        for neighbor in neighbors[i]:
            p = pci_assignment[neighbor]
            if p in seen:
                total += confusion_mr[i][neighbor]
            seen.add(p)
    
    return total

# ---------------------- 模拟退火算法 ----------------------
def simulated_annealing(initial_pci, max_iter=10000):
    current_pci = initial_pci.copy()
    current_loss = calculate_loss(current_pci)
    best_pci = current_pci.copy()
    best_loss = current_loss
    
    T = 1.0
    T_min = 1e-5
    alpha = 0.99
    
    for _ in range(max_iter):
        # 生成新解：随机修改一个小区PCI
        new_pci = current_pci.copy()
        cell = random.randint(0, n-1)
        new_pci[cell] = random.randint(0, 1007)
        
        # 计算损失变化（仅计算被修改小区的影响）
        delta = 0
        # 需要实现增量计算，此处简化为全量计算（实际需优化）
        new_loss = calculate_loss(new_pci)
        delta = new_loss - current_loss
        
        # 接受更优解或以概率接受劣解
        if delta < 0 or random.random() < math.exp(-delta / T):
            current_pci = new_pci
            current_loss = new_loss
            
            if current_loss < best_loss:
                best_pci = current_pci.copy()
                best_loss = current_loss
        
        T *= alpha
        if T < T_min:
            break
    
    return best_pci, best_loss

# ---------------------- 初始化与运行 ----------------------
if __name__ == "__main__":
    # 预生成邻区列表（示例，实际从数据加载）
    neighbors = defaultdict(list)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if conflict_mr[i][j] > 0:
                neighbors[i].append(j)
    
    # 初始解：随机分配
    initial_pci = np.random.randint(0, 1008, n)
    
    # 运行模拟退火
    best_pci, best_loss = simulated_annealing(initial_pci)
    
    print(f"最优总损失: {best_loss}")
    # 输出PCI分配结果
    pd.DataFrame(best_pci, columns=['PCI']).to_csv('pci_assignment.csv', index_label='CellID')
    

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