机器学习之支持向量机（SVM）算法详解

news2025/3/19 10:09:08

文章目录

引言
- 一、什么是支持向量机（SVM）
- 二、 SVM的基本原理
- 三、数学推导
- - 1.线性可分情况
  - 2. 非线性可分情况
  - 3. 核函数
- 四、SVM的优缺点
- - 优点：
  - 缺点：
- 五、应用场景
- 六、 Python实现示例
- 七、总结

引言

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种经典的监督学习算法，广泛应用于分类和回归问题。SVM以其强大的数学基础和优异的性能在机器学习领域占据重要地位。本文将详细介绍SVM的原理、数学推导、应用场景以及Python实现。

一、什么是支持向量机（SVM）

支持向量机是一种二分类模型，其基本思想是找到一个超平面，将不同类别的数据分隔开，并且使得两类数据点到超平面的距离（即间隔）最大化。SVM不仅可以处理线性可分问题，还可以通过核函数处理非线性可分问题。

二、 SVM的基本原理

SVM的核心目标是找到一个最优超平面，使得两类数据点的间隔最大化。这个超平面可以表示为：
在这里插入图片描述

其中，(w) 是法向量，决定了超平面的方向；(b) 是偏置项，决定了超平面的位置。

对于线性可分的数据，SVM的目标是找到 (w) 和 (b)，使得所有样本点满足：
在这里插入图片描述

其中，(yi) 是样本的标签（取值为 +1 或 -1），(xi) 是样本特征。

三、数学推导

1.线性可分情况

对于线性可分的数据，SVM的优化目标是最大化间隔。间隔的定义为：
在这里插入图片描述

因此，SVM的优化问题可以转化为：
在这里插入图片描述

这是一个凸二次规划问题，可以通过拉格朗日乘子法求解。

2. 非线性可分情况

对于非线性可分的数据，SVM引入松弛变量 (\xi_i)，允许部分样本点不满足约束条件。此时，优化问题变为：
在这里插入图片描述

其中，(C) 是正则化参数，用于控制分类错误和间隔的平衡。

3. 核函数

对于非线性问题，SVM通过核函数将数据映射到高维空间，使其在高维空间中线性可分。常用的核函数包括：

线性核：
多项式核：
高斯核（RBF核）：

核函数的选择对SVM的性能有重要影响。

四、SVM的优缺点

优点：

在高维空间中表现优异。
适用于小样本数据集。
通过核函数可以处理非线性问题。

缺点：

对大规模数据集训练速度较慢。
对参数和核函数的选择敏感。
难以直接用于多分类问题（需要通过组合多个二分类器实现）。

五、应用场景

SVM广泛应用于以下领域：

文本分类（如垃圾邮件过滤）
图像分类（如手写数字识别）
生物信息学（如基因分类）
金融风控（如信用评分）

六、 Python实现示例

以下是使用Python和Scikit-learn库实现SVM的示例代码：


import pandas as pd

data = pd.read_csv("iris.csv",header=None)

"""可视化原始数据"""

import matplotlib.pyplot as plt

data1 = data.iloc[:50, :]
data2 = data.iloc[50:, :]

# 原始数据是四维，无法展示，选择两个进行展示
plt.scatter(data1[1], data1[3], marker='+')
plt.scatter(data2[1], data2[3], marker='o')


"""使用SVM进行训练"""

x = data.iloc[:, [1,3]]
y = data.iloc[:, -1]
# 标准化数据
# from sklearn.preprocessing import StandardScaler
# scaler = StandardScaler()
# x = scaler.fit_transform(x)

from sklearn.model_selection import train_test_split

x_train,x_test,y_train,y_test = \
            train_test_split(x,y,test_size=0.2,random_state=42)


from sklearn.svm import SVC
svm = SVC(kernel='linear',C=float('inf'),random_state=0)
svm.fit(x_train,y_train)

"""可视化SVM结果"""

# 参数w[原始数据为二维数组]
w = svm.coef_[0]
# 偏置项[原始数据为一维数组]
b = svm.intercept_[0]

### w 和 b 决定了模型的决策边界

import numpy as np

x1 = np.linspace(0, 7, 300)  # 在 0 到 7 之间生成 300 个等间距的点

# 超平面方程
x2 = -(w[0] * x1 + b) / w[1]
# 上超平面方程
x3 = (1 - (w[0] * x1 + b)) / w[1]
# 下超平面方程
x4 = (-1 - (w[0] * x1 + b)) / w[1]

# 可视化超平面
plt.plot(x1, x2, linewidth=2, color='r')
plt.plot(x1, x3, linewidth=1, color='r', linestyle='--')
plt.plot(x1, x4, linewidth=1, color='r', linestyle='--')
# 进行坐标轴限制
plt.xlim(4, 7)
plt.ylim(0, 5)

# 找到支持向量[二维数组]可视化支持向量
# svm.support_vectors_是 SVM 模型中的一个属性，返回所有支持向量。
# vets 是一个二维数组，每一行表示一个支持向量的特征值
vets = svm.support_vectors_

# vets[:, 0] 和 vets[:, 1] 分别表示支持向量的第一个和第二个特征值（假设数据是二维的）。
plt.scatter(vets[:, 0], vets[:, 1], c='b', marker='x')

plt.show()