【动态规划】- 线性dp

news2025/3/16 10:00:52

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第 N 个泰波那契数

三步问题

使用最小花费爬楼梯

解码方法


第 N 个泰波那契数

1137. 第 N 个泰波那契数 - 力扣(LeetCode)

  1. 状态表示
    1. 是什么?dp表里面的值所表示的含义
    2. 怎么来?①题目要求->dp[ i ]表示第 i 个泰波那契数的值 ②经验+题目要求(多做题)③分析问题的过程中,发现重复子问题
  2. 状态转移方程
    1. dp[ i ]等于什么->dp[ i ]=dp[ i-1 ]+dp[ i-2 ]+dp[ i-3 ]
  3. 初始化
    1. 保证填表的时候不越界->dp[0]=0,dp[1]=dp[2]=1
  4. 填表顺序
    1. 为了填写当前状态的时候,所需要的状态已经计算过了
  5. 返回值
    1. 题目要求+状态表示
class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        // 处理边界情况:
        if (n == 0)
            return 0;
        if (n == 1 || n == 2)
            return 1;
        // 1. 创建dp表
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 2. 初始化
        dp[0] = 0;
        dp[1] = dp[2] = 1;
        // 3. 填表
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
        }
        // 4. 返回值
        return dp[n];

    }
}

空间优化: 

class Solution {
    // 空间优化:
    public int tribonacci(int n) {
        // 处理边界情况:
        if (n == 0)
            return 0;
        if (n == 1 || n == 2)
            return 1;
        // 初始化
        int a = 0, b = 1, c = 1, d = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            d = a + b + c;
            // 滚动操作
            a = b;
            b = c;
            c = d;
        }
        // 4. 返回值
        return d;
    }
}

三步问题

面试题 08.01. 三步问题 - 力扣(LeetCode)

  1. 状态表示
    1. 经验+题目要求
    2. 以 i 位置为结尾,根据题目要求做替换
    3. dp[ i ]表示到达 i 位置时,共有多少方法
  2. 状态转移方程
    1. 以 i 位置的状态,最近的一步来划分问题 ①dp[ i-1 ]->dp[ i ] ②dp[ i-2 ]->dp[ i ] ③dp[ i-3 ]->dp[ i ]
    2. dp[ i ]=dp[ i-1 ]+dp[ i-2 ]+dp[ i-3 ]
  3. 初始化->dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=4
  4. 填表顺序->从左往右
  5. 返回值->dp[ n ]
class Solution {
    public int waysToStep(int n) {
        // 处理边界情况:
        if (n == 1 || n == 2)
            return n;
        if (n == 3)
            return 4;
        int MOD = (int) 1e9 + 7;
        // 1. 创建dp表
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 2. 初始化
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 4;
        // 3. 填表
        for (int i = 4; i <= n; i++) {
            dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % MOD + dp[i - 3]) % MOD;// 防溢出
        }
        // 4. 返回值
        return dp[n];
    }
}

使用最小花费爬楼梯

746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣(LeetCode)

解法一:

  1. 状态表示
    1. 经验+题目要求
    2. 以 i 位置为结尾,根据题目要求做替换->dp[ i ]表示到达 i 位置时最小花费
  2. 状态转移方程
    1. 用之前或之后的状态推导出dp[ i ]的值
    2. 根据最近的一步来划分问题①dp[ i-1 ]->dp[ i ]②dp[ i-2 ]->dp[ i ]
    3. dp[ i ]=min(dp[ i-1 ]+cost[ i-1 ],dp[ i-2 ]+cost[ i-2 ])
  3. 初始化->保证填表的时候不越界dp[0]=dp[1]=0
  4. 填表顺序->从左往右
  5. 返回值->dp[n]
class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        // 1. 创建dp表
        int n = cost.length;
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        // 4. 返回值
        return dp[n];
    }
}

解法二: 

  1. 状态表示
    1. 经验+题目要求
    2. 以 i 位置为起点,根据题目要求做替换
  2. 状态转移方程
    1. 支付cost[ i ],往后走一步,从 i+1 的位置出发到终点->dp[ i+1 ]+cost[ i ]
    2. 支付cost[ i ],往后走两步,从 i+2 的位置出发到终点->dp[ i+2 ]+cost[ i ]
    3. dp[ i ]=min(dp[ i+1 ]+cost[ i ],dp[ i+2 ]+cost[ i ])
  3. 初始化->dp[ n-1 ]=cost[ n-1 ],dp[ n-2 ]=cost[ n-2 ]
  4. 填表顺序->从右往左
  5. 返回值->min(dp[0],dp[1])
class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        // 1. 创建dp表
        int n = cost.length;
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 2. 初始化
        dp[n - 1] = cost[n - 1];
        dp[n - 2] = cost[n - 2];
        // 3. 填表
        for (int i = n - 3; i >= 0; i--) {
            dp[i] = cost[i] + Math.min(dp[i + 1], dp[i + 2]);
        }
        // 4. 返回值
        return Math.min(dp[0], dp[1]);
    }
}

解码方法

91. 解码方法 - 力扣(LeetCode)

  1. 状态表示
    1. 经验+题目要求
    2. 以 i 位置为结尾,根据题目要求做替换
    3. dp[ i ]表示以 i 位置为结尾时,解码方法的总数
  2. 状态转移方程
    1. 根据最近的一步划分问题
    2. ①s[ i ]单独解码(1~9之间成功->dp[ i-1 ],否则为0) ②s[ i-1 ]与s[ i ]解码(10~26之间成功->dp[ i-2 ],否则为0)
    3. dp[ i ]=dp[ i-1 ]+dp[ i-2 ](解码成功时)
  3. 初始化
    1. dp[0]=1(1~9)或0,dp[1]=0或1(10~26)或2(1~9,1~9)
  4. 填表顺序->从左往右
  5. 返回值->dp[ n-1 ]
class Solution {
    public int numDecodings(String ss) {
        // 1. 创建dp表
        int n = ss.length();
        char[] s = ss.toCharArray();
        int[] dp = new int[n];
        // 2. 初始化
        if (s[0] != '0')
            dp[0] = 1;
        // 处理边界情况
        if (n == 1)
            return dp[0];
        // 初始化第二个位置
        if (s[1] != '0' && s[0] != '0')
            dp[1] += 1;
        int t = (s[0] - '0') * 10 + s[1] - '0';
        if (t >= 10 && t <= 26)
            dp[1] += 1;
        // 3. 填表
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            // 先处理第一种情况
            if (s[i] != '0')
                dp[i] += dp[i - 1];
            // 处理第二种情况
            int tt = (s[i - 1] - '0') * 10 + s[i] - '0';
            if (tt >= 10 && tt <= 26)
                dp[i] += dp[i - 2];
        }
        // 4. 返回值
        return dp[n - 1];
    }
}

空间优化:

class Solution {
    public int numDecodings(String ss) {
        // 1. 创建dp表
        int n = ss.length();
        char[] s = ss.toCharArray();
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 2. 初始化
        dp[0] = 1;// 保证后续填表是正确的
        if (s[1 - 1] != '0')
            dp[1] = 1;
        // 3. 填表
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            // 先处理第一种情况
            if (s[i - 1] != '0')
                dp[i] += dp[i - 1];
            // 处理第二种情况
            int tt = (s[i - 2] - '0') * 10 + s[i - 1] - '0';
            if (tt >= 10 && tt <= 26)
                dp[i] += dp[i - 2];
        }
        // 4. 返回值
        return dp[n];
    }
}

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