在珠算加减法过程中出现负数情况的处理
如果数字 A 小于 B,要求计算 A-B,此时出现了小数减大数的情况,其结果应该是负数。
在平时,计算 A-B 时,如果发现 A 小于 B,则计算时只要计算 B-A,结果记为负数即可。
但是,如果是珠心算加减法的听心算,这样处理就行不通了。
在现实中,在加减法的过程中出现负数是常见现象,因此,在珠心算加减法教学中,学生要学会如何处理出现负数的情况。
例如,38738-38756。这只是两个 5 位数相减,十位档的数表明,这个算式的最终结果是负数,由于是听心算,算题者如果首先把两个数都听完,然后再比较一下哪个大,后者为大时,再反过来用大数减小数,如此的记忆、颠倒,再计算,一般人是根本做不到的。
一路心算走过来的人都知道,珠心算的技术要点之一就是一个 “快” 字,当前一个数字(或中间结果)得出来之后,后一个数字几乎是每听到 1 个档位的数字后,就立即将该档位的数字拿来进行运算,实际上,当听到 “减 5 十” 时,前几位的 “减 3 万”、“减 8 千” 和 “减 7 百” 基本已经运算完毕。此时如果再 “哦,需要两数颠倒”,一切都晚了。
特别是,对于多个数连续加减的珠心算,例如 10 个 2 位数连续加减,如果算到第 6 个数时,出现负数,后面如何继续计算?颠倒数据这个办法是行不通的。
对于出现负数的处理方法,在珠心算的运算过程中,无论是中间出现负数,还是最终结果出现负数,都统一用借 “大虚数” 方式解决。
为叙述方便,下面假设 B 是个 4 位数,并且 A 小于 B,要计算 A-B。所谓借 “大虚数”,就是在珠算加减法时,如果参与运算的数字的最大位数是 4,则:
①如果是 2 个数相减,当减数大于被减数时,结果是负数,此时向第 4 位的前 1 位借 1,实际是借了一个 10000。
②如果是多个数连续加减,中间或结果出现负数,此时应该向第 4 位的前 2 位借 1,亦即借一个 100000。之所以向前 2 位借 1,是考虑到后续的计算,可能还会出现多次借数的情况;或者后续的计算,又出现了正数,并且这个正数的最高位还有进位的情况,进位与借位是不能混淆的。
通过借 “大虚数” 方式解决珠心算加减过程中出现负数的情况,在其它资料中都有介绍,当最终的计算结果出来后,如果计算结果真是一个负数,那么还需要把所借的 “大虚数” 还回去,剩下的才是真正的最终结果。
关于如何把所借的 “大虚数” 还回去,并未见相关资料给出简洁而规范的处理方法。下面介绍一种还回 “大虚数” 的规范方法。
假设借的这个大的虚数是 10000。之所以说 M 是个大虚数,是因为在计算时,开始时就假设在万位档上有个 1,如果在计算过程中真的发生了借位,则这个 M 就是真的存在,正常参与计算即可,如果计算时根本没发生借位,或者虽然发生了借位,但是在后续的加减运算过程中又还回去了,则这个 M 就按根本没存在对待。
假设,计算过程中,真的发生了借位,计算完的最终结果是 K,则可能出现两种情况:
①如果 K 的第 5 位上是个 1(如前述,假定 M=10000),这说明,在计算中途,借了一个大数 M,但是,在计算结束后,所借的这个大数已经还回去了,那么,直接去掉这个 1,就是最后结果了,结果为正数。
②如果 K 的第 5 位上是个 0,这说明,在计算中途所借的 M,在计算结束后还没还回去,最后结果应该是负数。但是,这个最终结果不是 K,而应该是在 K 的基础上,把 M 还回去才是最终结果。所谓把 M 还回去,就是执行 K-M。假设最终结果是 K1,则:
K1 = K-M
= -(M-K)
= -((M-1)-K)+1)
= -((9999-K)+1)
最后一行的表达式中,9999-K,实际上就是把 K 的每一位数,分别换成 9 减原数。
结论:当心算过程中发生借位,计算完后得数为 K,并且 K<M 时(假设 M=10000),还要再进行如下几步处理才能得到真正的最终结果:
千位的数换成 “9 减原数”,百位的数换成 “9 减原数”,十位的数换成 “9 减原数”,个位的数换成 “9 减原数”,加 1。完毕,结果是负数。
也可以说成为:千位的数以 9 为模取余数,百位的数以 9 为模取余数,十位的数以 9 为模取余数,个位的数以 9 为模取余数,加 1。完毕,结果是负数。
对于小学生,不必每次都实际计算 “以 9 为模取余数”,只需按照下列数据对,换成相应数据对中的另一个数据即可。
{(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)}
上述处理最终结果是负数的方式,是一种比较简单、直接的心算方案。
详细资料,请参阅《高效珠心算》一书。