一、决策树的核心思想

• 本质：通过特征判断对数据集递归划分，形成树形结构。
• 目标：生成一组“若-则”规则，使数据划分到叶子节点时尽可能纯净。
• 关键流程：
  1. 特征选择：选择最佳分裂特征（如信息增益最大）。
  2. 节点分裂：根据特征取值划分子节点。
  3. 停止条件：节点样本纯度过高或样本数过少时终止。

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二、数学公式与理论

1. 信息熵（Information Entropy）

衡量数据集的混乱程度：

$$H(D)=-\sum _{k=1}^K{p}_k{\log }_2{p}_k$$

• $K$：类别总数
• $p_k$：第 $k$ 类样本的占比
• 熵值范围：$0$（完全纯净）到 ${\log }_{2}K$（完全混乱）

2. 信息增益（Information Gain）

特征 $A$ 分裂后熵的减少量：

$$\text{Gain}(D,A)=H(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}H(D^v)$$

• $D^v$：特征 $A$ 取值为 $v$ 的子集
• 分裂标准：选择信息增益最大的特征

3. 基尼不纯度（Gini Impurity）

另一种纯度衡量指标：

$$\text{Gini}(D)=1-\sum _{k=1}^K{p}_k^2$$

• 特点：计算效率比熵高，常用于分类树

4. 回归树的均方误差（MSE）

节点内样本的预测误差：

$$\text{MSE}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y_i-\bar{y}{)}^2$$

• $\bar{y}$：节点样本的均值
• 分裂目标：最小化分裂后的加权 MSE

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三、代码实现（Python）

示例：手动计算基尼系数

import numpy as np

def compute_gini(y):
    # y: 样本标签数组
    classes, counts = np.unique(y, return_counts=True)
    proportions = counts / len(y)
    gini = 1 - np.sum(proportions ** 2)  # 对应公式 $Gini(D) = 1 - \sum p_k^2$
    return gini

# 示例：计算基尼系数
y = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1, 1])  # 3个0类，4个1类
print("基尼系数:", compute_gini(y))  # 输出：1 - ( (3/7)^2 + (4/7)^2 ) ≈ 0.49

使用 Scikit-learn 实现分类树

from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.datasets import load_iris

# 加载数据
data = load_iris()
X, y = data.data, data.target

# 创建模型（使用基尼系数，限制树深度）
model = DecisionTreeClassifier(
    criterion="gini",       # 分裂标准：基尼系数 $Gini(D)$
    max_depth=3,            # 最大深度防止过拟合
    min_samples_split=10    # 节点最少10样本才分裂
)
model.fit(X, y)

# 查看特征重要性（对应信息增益贡献）
print("特征重要性:", model.feature_importances_)

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四、实际应用场景

1. 分类任务

• 信用卡欺诈检测
  • 特征：交易金额、地点、时间间隔
  • 标签：正常/欺诈
  • 方法：计算特征的信息增益，选择关键特征（如“金额 > 阈值”）

2. 回归任务

• 房价预测
  • 特征：面积、房间数、地理位置
  • 标签：房价
  • 方法：递归划分区域，使每个区域的房价 MSE 最小

3. 其他领域

• 医疗诊断：根据症状（特征）判断疾病类型（标签）
• 工业控制：根据传感器数据（特征）判断设备故障（标签）

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五、决策树的优缺点

优点	缺点
可解释性强（规则可视化）	容易过拟合（需剪枝）
支持类别和数值特征	对数据微小变化敏感
无需特征标准化	回归任务中预测不够平滑