动态规划中固定倒数第二个数与倒数第一个数的区别与应用场景分析 —— 从最长等差数列问题到统计等差数列个数的填表策略对比

news2025/3/11 7:56:30

1. 问题目标的区别

（1）找到最长的等差数列

（2）统计等差数列的个数

2. 填表顺序的区别

（1）固定倒数第二个数（i）

（2）固定倒数第一个数（j）

3. 核心区别总结

4. 为什么选择不同的固定方式？

5. 总结

1. 问题目标的区别

（1）找到最长的等差数列

目标：找到数组中最长的等差数列的长度。
特点：需要关注的是等差数列的长度，而不是具体的个数。
动态规划状态定义：dp[i][j] 表示以 nums[i] 和 nums[j] 结尾的等差数列的长度。
状态转移方程：
```
dp[i][j] = dp[k][i] + 1;
```
其中 k 是满足 nums[k] = a 且 k < i 的下标，a = 2 * nums[i] - nums[j]。

（2）统计等差数列的个数

目标：统计数组中所有等差数列的个数。
特点：需要关注的是等差数列的数量，而不是长度。
动态规划状态定义：dp[i][j] 表示以 nums[i] 和 nums[j] 结尾的等差数列的个数。
状态转移方程：
```
dp[i][j] += dp[k][i] + 1;
```
其中 k 是满足 nums[k] = a 且 k < i 的下标，a = 2 * nums[i] - nums[j]。

2. 填表顺序的区别

（1）固定倒数第二个数（`i`）

适用场景：找到最长的等差数列。
填表顺序：
- 外层循环固定 i（倒数第二个数）。
- 内层循环枚举 j（倒数第一个数）。
原因：
- 在计算 dp[i][j] 时，需要依赖 dp[k][i]，其中 k 是 i 的前一个位置。
- 固定 i 后，可以确保 dp[k][i] 在计算 dp[i][j] 时已经被计算。

示例代码：

for (int i = 1; i < n; i++) { // 固定倒数第二个数
    for (int j = i + 1; j < n; j++) { // 枚举倒数第一个数
        int a = 2 * nums[i] - nums[j]; // 计算前一个元素的值
        if (hash.count(a)) {
            dp[i][j] = dp[hash[a]][i] + 1; // 更新 dp[i][j]
        }
        ret = max(ret, dp[i][j]); // 更新全局最大值
    }
}

（2）固定倒数第一个数（`j`）

适用场景：统计等差数列的个数。
填表顺序：
- 外层循环固定 j（倒数第一个数）。
- 内层循环枚举 i（倒数第二个数）。
原因：
- 在计算 dp[i][j] 时，需要累加所有满足条件的 dp[k][i]，其中 k 是 i 的前一个位置。
- 固定 j 后，可以确保在计算 dp[i][j] 时，所有可能的 dp[k][i] 已经被计算。

示例代码：

for (int j = 2; j < n; j++) { // 固定倒数第一个数
    for (int i = 1; i < j; i++) { // 枚举倒数第二个数
        long long a = (long long)nums[i] * 2 - nums[j]; // 计算前一个元素的值
        if (hash.count(a)) {
            for (auto k : hash[a]) {
                if (k < i) {
                    dp[i][j] += dp[k][i] + 1; // 更新 dp[i][j]
                }
            }
        }
        sum += dp[i][j]; // 累加 dp[i][j] 到 sum
    }
}

3. 核心区别总结

区别点	固定倒数第二个数（`i`）	固定倒数第一个数（`j`）
适用场景	找到最长的等差数列	统计等差数列的个数
动态规划状态定义	`dp[i][j]` 表示以 `nums[i]` 和 `nums[j]` 结尾的等差数列的长度	`dp[i][j]` 表示以 `nums[i]` 和 `nums[j]` 结尾的等差数列的个数
状态转移方程	`dp[i][j] = dp[k][i] + 1`	`dp[i][j] += dp[k][i] + 1`
填表顺序	外层循环固定 `i`，内层循环枚举 `j`	外层循环固定 `j`，内层循环枚举 `i`
依赖关系	依赖 `dp[k][i]`，其中 `k` 是 `i` 的前一个位置	依赖 `dp[k][i]`，其中 `k` 是 `i` 的前一个位置
目标	找到最长的等差数列的长度	统计所有等差数列的个数

4. 为什么选择不同的固定方式？

固定倒数第二个数（i）：
- 适用于最长等差数列问题，因为需要确保在计算 dp[i][j] 时，dp[k][i] 已经被计算。
- 通过固定 i，可以保证 dp[k][i] 在计算 dp[i][j] 时已经存在。
固定倒数第一个数（j）：
- 适用于统计等差数列个数问题，因为需要累加所有可能的 dp[k][i]。
- 通过固定 j，可以确保在计算 dp[i][j] 时，所有可能的 dp[k][i] 已经被计算。