518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

这个问题是 完全背包问题 的一个变体，可以使用 动态规划 来解决。我们定义 dp[i] 为凑成金额 i 的硬币组合数。

思路：

1. 定义 DP 数组
   设 dp[i] 表示凑成金额 i 的组合数，初始化 dp[0] = 1（金额为 0 时只有一种方式，即不选取任何硬币）。

2. 状态转移方程
   对于每个硬币 coin，遍历 dp[j]（从 coin 到 amount），更新 dp[j]：

   dp[j]+=dp[j−coin]dp[j] += dp[j - coin]dp[j]+=dp[j−coin]

   这表示我们可以用 coin 这个硬币来扩展 dp[j - coin] 形成的新组合。

3. 遍历顺序

• 外层遍历硬币（确保组合的唯一性）
• 内层遍历金额（从 coin 到 amount）
• 这样保证了组合是无序的，不会重复计算顺序不同但硬币相同的组合。

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:  
        dp = [0] * (amount + 1)
        dp[0] = 1  # 凑出金额 0 只有一种方式，即什么都不选
        
        for coin in coins:  # 遍历每种硬币
            for j in range(coin, amount + 1):  # 遍历金额
                dp[j] += dp[j - coin]  # 累加组合数
                
        return dp[amount]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n × m)，其中 n 是 amount，m 是 coins 的数量。
• 空间复杂度：O(n)，只使用了一维 dp 数组。

总结

这个问题可以通过 动态规划 解决，核心思想是：

• dp[j] += dp[j - coin] 这一公式表示用 coin 形成新组合。
• 遍历硬币优先，确保组合的唯一性。
• 空间优化：只使用一维数组 dp。