本博客为系列博客，主要讲解各基带算法的原理与应用，包括：viterbi解码、Turbo编解码、Polar编解码、CORDIC算法、CRC校验、FFT/DFT、QAMtiaozhi/解调、QPSK调制/解调。其他博客链接如下：

1. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【一】引言
2. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【二】Viterbi解码
3. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【三】Turbo 编解码
4. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【四】Polar 编解码（一）
5. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【四】Polar 编解码（二）
6. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【五】CORDIC算法
7. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【六】CRC 校验
8. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【七】FFT/DFT
9. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【八】QAM 调制 / 解调
10. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【九】QPSK调制/解调
11. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【十】基带算法应用与对比

2.8 QPSK 调制 / 解调

简介

Quadrature Phase Shift Keying (QPSK) 是一种相位调制技术，广泛应用于数字通信系统中。它通过将两个信息比特组合成一个符号进行传输，从而提高频谱效率。下面我们详细解释 QPSK 的原理、公式和应用。

QPSK 的基本思想是利用四个不同的载波相位来表示四个可能的符号状态。在一个符号周期 $T_{sym}$ 内，QPSK 信号可以表示为：

$$s(t)=A\cdot \cos [2\pi f_{c}t+{\theta }_n],0\le t\le T_{sym},n=1,2,3,4$$

其中，$A$ 是信号幅度，$f_c$ 是载波频率，${\theta }_n$ 是信号的初始相位，由下式决定：

$${\theta }_n=(2n-1)\frac{\pi }{4}$$

因此，QPSK 的四个可能初始相位分别是 $\pi /4$, $3\pi /4$, $5\pi /4$, 和 $7\pi /4$ 弧度。

为了进一步分析 QPSK 信号，我们可以将其分解为两个正交分量：同相分量（In-phase）和正交分量（Quadrature）。通过三角函数的和差化积公式，QPSK 信号可以重写为：

$$s(t)=A\cdot \cos {\theta }_n\cdot \cos (2\pi f_{c}t)-A\cdot \sin {\theta }_n\cdot \sin (2\pi f_{c}t)$$

这表明 QPSK 信号是由两个正交基函数 ${\varphi }_i(t)=\cos (2\pi f_{c}t)$ 和 ${\varphi }_q(t)=\sin (2\pi f_{c}t)$ 加权叠加而成的，权重分别为 $s_{n,i}=A\cdot \cos {\theta }_n$ 和 $s_{n,q}=-A\cdot \sin {\theta }_n$。

在二维坐标系中，QPSK 的星座图可以用四个点表示，这些点对应于四个不同的符号状态。例如，假设 $A=1$，则四个符号对应的坐标为 $(\cos \pi /4,-\sin \pi /4)$, $(\cos 3\pi /4,-\sin 3\pi /4)$, $(\cos 5\pi /4,-\sin 5\pi /4)$, 和 $(\cos 7\pi /4,-\sin 7\pi /4)$。具体计算如下：

• 对于 ${\theta }_1=\pi /4$，$(s_{1,i},s_{1,q})=(\cos \pi /4,-\sin \pi /4)=(\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)$。
• 对于 ${\theta }_2=3\pi /4$，$(s_{2,i},s_{2,q})=(\cos 3\pi /4,-\sin 3\pi /4)=(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$。

类似地，可以计算其他两个符号的状态。

QPSK 的优点在于其高效的频谱利用率和较低的实现复杂度，适用于多种无线通信标准，如 Wi-Fi 和卫星通信。

QPSK 发射机的实现与原理

QPSK（Quadrature Phase Shift Keying）发射机的核心功能是将输入的二进制数据流调制成 QPSK 信号，以便在无线通信系统中传输。图1展示了 QPSK 发射机的基本结构，其实现被封装为一个 MATLAB 函数 qpsk_mod。该函数接收三个参数：输入的二进制数据流 $a$、载波频率 $f_c$ 和过采样因子 $OF$。输出包括调制后的 QPSK 信号 $s$、时间基 $t$、以及基带同相分量 $I$ 和正交分量 $Q$。

function [s,t,I,Q] = qpsk_mod(a,fc,OF)
%Modulate an incoming binary stream using conventional QPSK
%a - input binary data stream (0's and 1's) to modulate
%fc - carrier frequency in Hertz
%OF - oversampling factor (multiples of fc) - at least 4 is better
%s - QPSK modulated signal with carrier
%t - time base for the carrier modulated signal
%I - baseband I channel waveform (no carrier)
%Q - baseband Q channel waveform (no carrier)
L = 2*OF;%samples in each symbol (QPSK has 2 bits in each symbol)
ak = 2*a-1; %NRZ encoding 0-> -1, 1->+1
I = ak(1:2:end);Q = ak(2:2:end);%even and odd bit streams
I=repmat(I,1,L).'; Q=repmat(Q,1,L).';%even/odd streams at 1/2Tb baud
I = I(:).'; Q = Q(:).'; %serialize
fs = OF*fc; %sampling frequency
t=0:1/fs:(length(I)-1)/fs; %time base
iChannel = I.*cos(2*pi*fc*t);qChannel = -Q.*sin(2*pi*fc*t);
s = iChannel + qChannel; %QPSK modulated baseband signal

在实现过程中，首先通过一个分离器将生成的信息比特分为奇数位和偶数位两部分。奇数位对应正交臂（Quadrature Arm），而偶数位对应同相臂（In-phase Arm）。这两路比特流随后以并行方式转换为 NRZ（Non-Return-to-Zero）格式。NRZ 编码的作用是将二进制数据中的 $0$ 映射为 $-1$，而 $1$ 映射为 $+1$。例如，如果输入的二进制数据流为 $a=[1,0,1,1]$，则经过 NRZ 编码后得到 $ak=[1,-1,1,1]$。接着，从 $ak$ 中提取奇数位和偶数位，分别形成 $I$ 和 $Q$ 分量，即 $I=[1,1]$ 和 $Q=[-1,1]$。

为了满足符号速率的要求，每个符号包含两个比特，因此符号周期 $T_{sym}$ 是比特周期 $T_b$ 的两倍，即 $T_{sym}=2T_b$。这意味着，如果 QPSK 符号以与 BPSK 相同的速率传输，则 QPSK 的数据速率是 BPSK 的两倍。

接下来，程序对 $I$ 和 $Q$ 分量进行过采样处理。过采样因子 $L=2\cdot OF$ 决定了每个符号的采样点数，从而确保信号在时间上具有足够的分辨率。例如，假设 $OF=4$，则每个符号会被采样 $L=8$ 次。

在完成过采样后，程序生成的时间基 $t$ 被定义为 $t=0:1/fs:(length(I)-1)/fs$，其中采样频率 $f_s=OF\cdot f_c$。随后，基带同相分量 $I$ 和正交分量 $Q$ 分别与载波信号 $\cos (2\pi f_{c}t)$ 和 $-\sin (2\pi f_{c}t)$ 相乘，生成同相臂和正交臂的已调信号。最终的 QPSK 调制信号通过将这两个分量相加获得：
$$s(t)=I(t)\cdot \cos (2\pi f_{c}t)+Q(t)\cdot (-\sin (2\pi f_{c}t))$$

此外，为了确保信号的稳定性和准确性，过采样率 $L=2f_s/f_c$ 被选择为整数，使得每个符号周期内有整数个载波周期。这种设计符合奈奎斯特采样定理的要求，即采样频率 $f_s$ 至少为载波频率 $f_c$ 的两倍，即 $f_s\ge f_c$。通过这种方式，QPSK 发射机能够高效地生成高质量的调制信号，适用于各种无线通信场景。

QPSK 接收机的实现与原理

QPSK（Quadrature Phase Shift Keying）接收机的设计得益于其与 BPSK（Binary Phase Shift Keying）之间的特殊关系，因此其实现形式相对简单。如图3所示，QPSK 接收机的核心思想是分别对 I 通道（同相通道）和 Q 通道（正交通道）信号进行解调，其过程与 BPSK 解调方式类似。在解调完成后，I 通道的比特序列和 Q 通道的比特序列会被合并为一个单一的比特流，从而恢复出原始的二进制数据。这一过程由 MATLAB 函数 qpsk_demod 实现，该函数按照图3中的模型完成了 QPSK 解调器的功能。

具体来说，QPSK 接收机的工作流程可以分为以下几个步骤。首先，接收到的 QPSK 调制信号被分解为两个分量：同相分量（I 通道）和正交分量（Q 通道）。这两个分量分别通过与载波信号 $\cos (2\pi f_{c}t)$ 和 $-\sin (2\pi f_{c}t)$ 相乘完成下变频操作，即将高频调制信号转换为基带信号。随后，经过低通滤波器去除高频成分，得到解调后的 I 通道和 Q 通道信号。这些信号通常以连续时间波形的形式存在，因此需要进一步量化为离散的比特值。对于每个符号周期 $T_{sym}$，I 通道和 Q 通道的信号值会被映射回对应的二进制比特，例如通过判断信号值的正负来确定比特值（正对应 $1$，负对应 $0$）。最后，I 通道和 Q 通道的比特序列会被重新组合，形成最终的二进制数据流。

function [a] = qpsk_demod(r, fc, OF)
% QPSK_DEMOD - QPSK 解调器
% 输入：
%   r - 接收的 QPSK 调制信号（含噪声）
%   fc - 载波频率 (Hz)
%   OF - 过采样因子 (每个符号的采样点数为 2*OF)
% 输出：
%   a - 恢复的二进制比特流

% 参数初始化
fs = OF * fc; % 采样频率
Ts = 1 / fs; % 采样周期
Tsym = 2 * OF * Ts; % 符号周期 (每个符号包含 2*OF 个采样点)

% 时间基
t = (0:length(r)-1) / fs;

% 下变频：将接收到的信号分解为 I 和 Q 分量
iChannel = r .* cos(2 * pi * fc * t); % 同相分量
qChannel = r .* (-sin(2 * pi * fc * t)); % 正交分量

% 低通滤波：去除高频成分
lpf = designLowpassFilter(fs, fc); % 设计低通滤波器
iChannelFiltered = filter(lpf, iChannel); % 滤波同相分量
qChannelFiltered = filter(lpf, qChannel); % 滤波正交通量

% 符号采样：在每个符号周期的中心点采样
samplesPerSymbol = 2 * OF; % 每个符号的采样点数
iSamples = iChannelFiltered(samplesPerSymbol/2:samplesPerSymbol:end);
qSamples = qChannelFiltered(samplesPerSymbol/2:samplesPerSymbol:end);

% 符号判决：将采样值映射回二进制比特
iBits = double(iSamples >= 0); % 判断同相分量的符号
qBits = double(qSamples >= 0); % 判断正交通量的符号

% 将 I 和 Q 比特组合为单个比特流
a = reshape([iBits; qBits], 1, []); % 合并为单行向量
end

% 辅助函数：设计低通滤波器
function lpf = designLowpassFilter(fs, fc)
    % 设计一个低通滤波器，截止频率略低于载波频率
    fNyquist = fs / 2; % 奈奎斯特频率
    lpf = fir1(64, fc / fNyquist); % 使用 FIR 滤波器，64 阶
end

为了更清楚地理解这一过程，我们可以结合具体的例子进行说明。假设接收到的 QPSK 信号经过解调后，I 通道的信号值序列为 $[+0.8,-0.9]$，而 Q 通道的信号值序列为 $[-0.7,+0.6]$。根据 NRZ 编码规则，正信号值被映射为 $1$，负信号值被映射为 $0$。因此，I 通道的比特序列为 $[1,0]$，Q 通道的比特序列为 $[0,1]$。将这两个序列按顺序合并后，得到最终的二进制数据流为 $[1,0,0,1]$。这正是原始发送数据的恢复结果。

此外，QPSK 接收机的设计还考虑了实际通信系统中的噪声和失真问题。为了评估 QPSK 系统的性能，通常会通过仿真手段计算误码率（Bit Error Rate, BER）。误码率反映了系统在噪声环境下正确传输数据的能力。在仿真过程中，可以通过调整信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）来观察不同噪声水平下的性能表现。

总之，QPSK 接收机的设计充分利用了其与 BPSK 的相似性，简化了解调过程。通过对 I 通道和 Q 通道信号的独立处理以及后续的比特序列合并，接收机能够高效地恢复出原始数据。这种设计不仅在理论上具有清晰的逻辑，在实际应用中也表现出良好的性能和可靠性。

QPSK 性能仿真

在 QPSK（Quadrature Phase Shift Keying）调制解调系统的性能仿真中，整个波形模拟过程包括生成随机消息比特、使用 QPSK 调制对这些比特进行编码、添加对应给定信噪比（Signal-to-Noise Ratio, $E_b/N_0$）的 AWGN（Additive White Gaussian Noise）信道噪声，以及通过相干 QPSK 接收机对接收到的含噪信号进行解调。图4展示了调制器各个阶段的波形。这种仿真不仅验证了系统的设计正确性，还提供了误码率（Bit Error Rate, BER）性能曲线，用于评估系统在噪声环境下的表现。由于 QPSK 本质上是将两个正交调制的 BPSK（Binary Phase Shift Keying）信号组合在一起，因此其性能曲线与传统 BPSK 的性能曲线相同。这意味着，在相同的 $E_b/N_0$ 下，QPSK 和 BPSK 的误码率表现一致。

QPSK 变体分析

除了标准 QPSK，还有多种 QPSK 的变体形式，其中包括 Offset-QPSK（OQPSK）、$\pi /4$-QPSK 和 $\pi /4$-DQPSK。这些变体在相位变化和调制方式上有所改进，以适应不同的应用场景。

Offset-QPSK 与标准 QPSK 类似，但 I 通道和 Q 通道的正交载波信号存在时间上的交错（其中一个通道被延迟）。在 OQPSK 中，正交分量不会在同一时刻改变状态，因为状态变化仅发生在符号周期的中间（由于 Q 通道有半个符号的偏移）。这完全消除了 $180^{\circ }$ 的相位跳变，将相位变化限制为每比特周期内的 $0^{\circ }$ 或 $\pm 90^{\circ }$。消除 $180^{\circ }$ 相位跳变的特性使 OQPSK 在频谱特性和抗相位抖动能力方面优于标准 QPSK。此外，如果进一步避免相位跃迁，则可以实现类似最小频移键控（Minimum Shift Keying, MSK）等连续调制方案的性能提升。

$\pi /4$-QPSK 是另一种重要的 QPSK 变体，其调制信号的星座点从两个相位相差 $\pi /4$ 弧度（即 $45^{\circ }$）的 QPSK 星座中选择。通过在每个连续比特间切换这两个星座，相位变化被限制为 $45^{\circ }$ 的奇数倍，从而消除了 $90^{\circ }$ 和 $180^{\circ }$ 的相位跳变。这一特性使得 $\pi /4$-QPSK 比标准 QPSK 和 OQPSK 更好地保持了恒包络特性。此外，$\pi /4$-QPSK 支持差分编码，因此既可以采用相干解调也可以采用非相干解调技术。非相干解调的选择简化了接收机设计，而差分编码的 $\pi /4$-QPSK 通常被称为 $\pi /4$-DQPSK。

为了更好地研究 QPSK 及其变体的相位过渡特性，常使用星座图（Constellation Diagram）。星座图能够直观地展示信号在二维复平面上的分布情况，并揭示不同调制方式的特性。例如，标准 QPSK 的星座点均匀分布在四个象限中，而 OQPSK 和 $\pi /4$-QPSK 的星座图则反映了它们在相位变化方面的改进。

参考资料：QPSK - Quadrature Phase Shift Keying - GaussianWaves