2025春新生培训数据结构（树，图）

news2025/4/21 7:54:29

教学目标：

1，清楚什么是树和图，了解基本概念，并且理解其应用场景

2，掌握一种建图（树）方法

3，掌握图的dfs和树的前中后序遍历

例题与习题

2025NENU新生培训（树，图）习题

引言

恭喜各位！当你学到图和树的内容的时候，已经结束了萌新的状态。

大家想来已经早就听过了关于树和图的传说，但树和图到底是什么呢？又有什么用呢？

大家试想一下，我们现在已知的几种数据结构：栈，队列，链表......这些结构都有一个特点，就是线性的。

这些结构里，从前到后点与点之间的关系是1v1的，而我们不妨思考一下在如下情境中我们该如何存储数据，我们要构造一个这样的情景：

有许多的人，我们知道a比b年龄大，a比c大，d比c大，d比e大......该如何记录这样的信息呢？

如果你能独立想明白的话，我想你已经独立想出了算法中的一大突破，那就是树与图。

我们想一下应该怎么办。是不是本能地想到应该记录一下某个人a和所有与a有关系的人？而这显然一个一维数组我们如果用下标来表示是谁，那么一个值通常是存不下来所有和他有关系的人的。因此我们可以用二维数组来存储，用某一维表示a，然后另一维去存与a有关系的人。

举个例子：

已知有三个人a， b， c，已知a > b, b > c, a > c

我们可以用一个3 * 3 的数组来记录它，用 1 来表示大于

a b c

a 0 1 1

b 0 0 1

c 0 0 0

这就是一个邻接矩阵，我们可以从中看出 a 比 b 大， a 比 c大， b 比 c 大

然而邻接矩阵会用节点数目的平方的空间，因此这往往并不适用于节点数目较多而边数较少的情况，所以我们往往会采用另一种方式邻接表，在这种数据结构中，我们记录和每一个顶点有关系的点。

这很方便，以上图为例，如果我们用邻接表的方式，我们所记录的大概是这样：

a ： b c

b ： c

c ：

这同样能够记录图的结构，而消耗的空间很小。

第二种方式又有两种不同的建图方法分别是单链表和动态数组，在讲解建图方式之前，我们不如先来系统地讲述一下图和树的基本概念：

树与图的基本概念

一、图 (Graph)

正如我们前面所讲，图是一种由节点（顶点）和边组成的数据结构，通常用于表示复杂的关系。与树不同，图不要求有层次关系，也不一定是连通的。

1. 图的基本概念

顶点 (Vertex)：图中的节点。
边 (Edge)：连接两个顶点的线，表示它们之间的关系。
有向图 (Directed Graph)：边有方向，即从一个顶点指向另一个顶点。

什么样的关系可以由有向图表示？

无向图 (Undirected Graph)：边没有方向，表示两个顶点之间的关系是双向的。

什么样的关系可以由无向图表示？

邻接矩阵 (Adjacency Matrix)：使用二维数组表示图的结构，适用于稠密图。
邻接表 (Adjacency List)：使用链表数组或动态数组表示图的结构，适用于稀疏图。

二、树（Tree）

树是一种特殊的图！树是无环的连通图。
树是一种分层结构的非线性数据结构，由节点和边组成。每个树由一个根节点和零个或多个子树组成。

1. 树的基本概念
节点（Node）：树中的每个元素。
根节点（Root）：树的最顶端节点，没有父节点。
父节点（Parent）：一个节点的直接前驱节点。
子节点（Child）：一个节点的直接后继节点。
叶节点（Leaf）：没有子节点的节点。
高度（Height）：树中节点的层次，根节点的高度为0。
深度（Depth）：节点到根节点的距离。

2. 树的类型
二叉树 (Binary Tree)：每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。

完全二叉树：从根结点到倒数第二层满足完美二叉树，最后一层可以不完全填充，其叶子结点都靠左对齐。

建图

建图（树），

我们接下来以这道题为例，从代码的角度来实现一个图的建立，树的建立与图完全一致

一：邻接矩阵建图

节点数量为n

首先创建一个n * n 的二维数组A，初始值默认为0

对每一条由u到v的边，A[u][v] = A[v][u] = 1

二：邻接表建图

动态数组：

创建一个二维动态数组vector<vector<int>> B(n + 1)

对每一条由u到v的边，B[u].push_back(v), B[v].push_back(u)

链表（较难）：

这种方法较难，相对来讲比较传统，大家可以自行了解

下面是这道题目的通过代码，希望大家可以先自行尝试解决这道问题

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 1e5 + 10;

// 邻接矩阵
int A[N][N];

// 邻接表
vector<vector<int>> B(N);

int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i ++ )
	{
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		
		// 邻接矩阵存储边
		A[a][b] = A[b][a] = 1;
		
		// 邻接表存储边
		B[a].push_back(b);
		B[b].push_back(a);
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		for (int j = 1; j <= n; j ++ )
		{
			cout << A[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		// 一个点相关的边的数量等于这个点的度数
		cout << B[i].size() << " ";
		// 题目中要求从小到大输出
		sort(B[i].begin(), B[i].end());
		for (auto b : B[i])
		{
			cout << b << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	
	
	return 0;
}

图（树）的深度优先搜索

大家已经学习过在网格图中如何进行搜索，那么在图中该怎么进行搜索呢？我们这里仅讲述dfs，bfs与其类似，大家可以课后自行尝试

在网格图中，我们通常使用上下左右四个方向来进行移动，但是在图和树中，一个点能移动到的位置是所有与其相连的点

我们用邻接表来讲的话，其dfs大概是这样的

// 邻接表
vector<vector<int>> B(N);

// u是当前访问的节点，fa是上一个节点
void dfs(int u, int fa)
{
	// b 是相连的点
	for (auto b : B[u])
	{
		// 如果不是父节点，就移动过去，这避免了在两个点之间反复横跳
		if (b != fa)
		{
			dfs(b, u);
		}
	}
}