参考

https://arxiv.org/pdf/2010.02502

---

一、背景与动机

去噪扩散隐式模型（DDIM） 是对DDPM的改进，旨在加速采样过程同时保持生成质量。DDPM虽然生成效果优异，但其采样需迭代数百至数千次，效率较低。DDIM通过以下关键创新解决该问题：

• 非马尔可夫反向过程：打破严格的马尔可夫链假设，允许跳步采样。
• 确定性生成路径：通过设定参数σ=0，实现确定性采样，减少随机性带来的不确定性。
• 兼容性：使用与DDPM相同的训练模型，无需重新训练。

---

二、DDIM与DDPM的核心区别

特性	DDPM	DDIM
反向过程	严格马尔可夫链	非马尔可夫，允许跳跃式采样
采样速度	慢（需完整迭代所有时间步）	快（可跳过中间步，如50步代替1000步）
随机性控制	固定方差调度（βₜ）	可调参数σₜ（σ=0时为确定性采样）
训练目标	需完整训练噪声预测模型	直接复用DDPM的预训练模型

---

三、数学推导与关键公式

1. 前向过程的一致性

DDIM沿用DDPM的前向扩散过程定义，任意时刻( x_t )可表示为：
$$x_t=\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}ϵ,ϵ\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$$
其中${\bar{\alpha }}_t={\prod }_{i=1}^t{\alpha }_i$,${\alpha }_t=1-{\beta }_t$。

2. 反向过程的重新参数化

DDIM将反向过程定义为非马尔可夫链，允许从任意时间步( t )直接推断( x_{t-Δ} )（Δ为跳跃步长）。其核心公式为：
$$x_{t-\Delta }=\sqrt{{\bar{\alpha }}_{t-\Delta }}\underset{\text{预测的 }{x}_0}{\underbrace{\left(\frac{x_t-\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}{ϵ}_{\theta }(x_t,t)}{\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}}\right)}}+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_{t-\Delta }-{\sigma }_t^2}\cdot {ϵ}_{\theta }(x_t,t)+{\sigma }_{t}z$$

• 第一项：基于当前$x_t$和预测噪声${ϵ}_{\theta }$估计的原始数据$x_0$。
• 第二项：沿预测噪声方向的确定性更新。
• 第三项：可控的随机噪声项，$z\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$。

3. 参数σₜ的作用

• σₜ=0：完全确定性采样（DDIM的标准设定），生成结果唯一。
• σₜ=√[(1−αₜ₋₁)/(1−αₜ)] · √(1−αₜ/αₜ₋₁)：恢复DDPM的采样过程。

---

四、DDIM采样算法步骤

1. 输入：

   • 预训练噪声预测模型${ϵ}_{\theta }$
   • 总时间步$T$，子序列步数$S$（如$S=50$）
   • 方差调度参数 { α t } \{\alpha_t\} {αt​}
   • 随机性控制参数${\sigma }_t$

2. 生成时间步子序列：
   选择递减的子序列 { τ 1 , τ 2 , . . . , τ S } \{\tau_1, \tau_2, ..., \tau_S\} {τ1​,τ2​,...,τS​}，例如均匀间隔或余弦调度。

3. 初始化：采样初始噪声$x_T\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$。

4. 迭代去噪（从${\tau }_S$到${\tau }_1$）：

   • 预测噪声：$ϵ={ϵ}_{\theta }(x_{{\tau }_s},{\tau }_s)$
   • 估计原始数据：
     $${\hat{x}}_0=\frac{x_{{\tau }_s}-\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_{{\tau }_s}}ϵ}{\sqrt{{\bar{\alpha }}_{{\tau }_s}}}$$
   • 计算下一步状态：
     $$x_{{\tau }_{s-1}}=\sqrt{{\bar{\alpha }}_{{\tau }_{s-1}}}{\hat{x}}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_{{\tau }_{s-1}}-{\sigma }_{{\tau }_s}^2}\cdot ϵ+{\sigma }_{{\tau }_s}z$$
     • 当${\sigma }_{{\tau }_s}=0$时，最后一项消失，变为确定性更新。

5. 输出：$x_0$为生成的数据。

---

五、伪代码示例

def ddim_sample(model, T, S, alphas_bar, sigmas):
    # 生成时间步子序列（如从T到0每隔k步取一次）
    tau = np.linspace(T, 0, S+1, dtype=int)  # 示例：线性间隔
    
    x = torch.randn_like(data)  # x_T ~ N(0, I)
    for s in range(S, 0, -1):
        t_current = tau[s]
        t_prev = tau[s-1]
        
        # 预测噪声
        epsilon = model(x, t_current)
        
        # 估计x0
        x0_hat = (x - np.sqrt(1 - alphas_bar[t_current]) * epsilon) / np.sqrt(alphas_bar[t_current])
        
        # 计算系数
        coeff1 = np.sqrt(alphas_bar[t_prev])
        coeff2 = np.sqrt(1 - alphas_bar[t_prev] - sigmas[t_current]**2)
        
        # 更新x
        x = coeff1 * x0_hat + coeff2 * epsilon + sigmas[t_current] * torch.randn_like(x)
        
    return x

---