一、题目：
二、题解
2.1：朴素prim的步骤解析 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)(n<=1e3)
0、假设，我们现在有这样一个有权图
1、我们随便找一个点，作为起点开始构建最小生成树(一般是1号)，并且存入intree[]状态数组中（该数组表示是否访问过了）
2、找所有点当中，距离intree[]最近的点，
- 循环
n
−
1
n-1
n−1次(因为已经确定了1这个点)，每次找距离
intree[]最近的点作为拓展点， - 即选择了
[2]这个点
3、把dis[2](2距离intree的距离)累计起来(res+=dis[2])，并且更新所有点的dis值
4、此时，重复找所有点当中，距离intree[]最近的点(重复2/3)…
三、朴素prim代码解析
3.1、代码分块解析：
这段代码实现了 Prim 算法 用于求解 最小生成树，我会将代码分块并逐步解释每一块的作用。
1. 常量定义
const int N = 103; // 设置最大点数
int a[N][N], dis[N];
bool st[N];
int n, m;
解释:
N定义了图中点的最大数量，设置为 103。a[N][N]：一个二维数组，表示图的邻接矩阵，存储两点之间的边权。a[i][j]：表示i–>j的距离
dis[N]：一个一维数组，表示从起始点到每个节点的最短距离。st[N]：布尔型数组，用来标记某个节点是否已经被加入最小生成树。(图解中的intree数组)n和m：分别表示图中的节点数和边数。
2. solve 函数的初始化
void solve()
{
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis)); // 初始化dis数组，设为最大值
memset(a, 0x3f, sizeof(a)); // 初始化邻接矩阵为最大值
// 初始化
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int ui, vi, wi;
cin >> ui >> vi >> wi;
a[ui][vi] = min(a[ui][vi], wi);
a[vi][ui] = min(a[vi][ui], wi);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i][i] = 0; // 自己到自己没有边，权重为 0
解释:
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis))：将dis数组初始化为一个较大的值（通常为无穷大，表示尚未连接的节点）。memset(a, 0x3f, sizeof(a))：将邻接矩阵a初始化为无穷大，表示两点之间如果没有边，则权重为无穷大。- 输入节点数
n和边数m，然后读入每条边的信息，更新邻接矩阵a。同时，因为有可能存在重复边，所以采用min取最小边权，确保保存的是权重最小的边。 - 设置每个节点到自身的距离为
0。
3. 最小生成树的 Prim 算法核心部分
dis[1] = 0; // 从节点1开始，初始权重为0
int res = 0; // 记录最小生成树的总权重
for (int i = 1; i <= n; i++) // 进行n次选择最小值操作
{
int temp = -1; // 用于记录当前最小值对应的节点
// 遍历所有节点，找出距离最小的未加入最小生成树的节点
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
//和Dijkstra一样,
//1.当j这个点还没访问过，2.遍历的的点j<当前点temp的距离,那么就更新temp
//temp==-1只是为了确保其能够第一次进入循环，详解看Dijkstra
if (!st[j] && ((temp == -1) || (dis[j] < dis[temp])))
{
temp = j;
}
}
//此时temp就是距离intree最近的点
if (temp == -1) // 如果所有节点都已经被选中，说明图不连通,直接return
{
cout << -1 << '\n';
return;
}
解释:
- 初始化
dis[1] = 0，表示从节点1开始构建最小生成树，起始点的距离为0。 res用来记录最小生成树的总权重。- 外层
for (int i = 1; i <= n; i++)进行n次选择最小值操作，每次选择一个最小的未加入最小生成树的节点。 - 内层循环
for (int j = 1; j <= n; j++)遍历所有节点，找出距离当前生成树最近的节点。条件是节点未加入生成树!st[j]且dis[j]小于当前最小值。 temp == -1用来判断是否图不连通。如果没有找到最小值节点，说明图是断开的，输出-1。
4. 更新最小生成树的权重并松弛边
res += dis[temp]; // 将当前最小值加到结果中
st[temp] = true; // 标记节点temp已加入最小生成树
dis[temp] = 0; // 当前节点到自己的距离设为0（实际上不影响结果）
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 松弛与temp相连的所有边
if (!st[i]) { // 只有未加入最小生成树的节点才能被松弛
dis[i] = min(dis[i], a[temp][i]);
}
}
}
cout << res << '\n'; // 输出最小生成树的总权重
}
解释:
- 将选中的最小值节点
temp的距离dis[temp]加到总权重res中。 - 标记该节点已经被加入最小生成树，即
st[temp] = true。 - 进行 松弛操作，尝试更新与当前最小值节点相连的所有边的权重，更新未加入生成树的节点的最短距离
dis[i]。
3.2、完整代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=103;
struct node{
int v;//指向点
int w;//权重
};
int a[N][N],dis[N];
bool st[N];
int n,m;
void solve()
{
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(a,0x3f,sizeof(a));
//初始化
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int ui,vi,wi;cin>>ui>>vi>>wi;
//g[ui].push_back({vi,wi});
a[ui][vi]=min(a[ui][vi],wi);
a[vi][ui]=min(a[vi][ui],wi);
}
for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=0;
dis[1]=0; //从1开始，1的权重为0
int res=0;
for(int i=1;i<=n;i++) //找n次最小值
{
int temp=-1; //表示dis最小点
for(int j=1;j<=n;j++) //遍历每个点找最小值
{
//如果j还没被选中过
if(!st[j] && ((temp==-1)||(dis[j]<dis[temp])))
{
temp=j;
}
}
if (temp == -1) // 如果没有点可选，说明图不连通
{
cout<<-1<<'\n';
break;
}
//此时表示已经选中了最小值temp
res+=dis[temp];
st[temp]=true;
dis[temp]=0;//距离设置为0
for(int i=1;i<=n;i++) //松弛temp相连的边a[temp][i]
{
if(!st[i]) //表示i话没有松弛过
{
dis[i]=min(dis[i],a[temp][i]);
}
}
}
cout<<res<<'\n';
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
int _=1;
while(_--) solve();
return 0;
}
