线性回归与一元线性回归
- V1.1
- 线性回归问题
- 线性方程的最优解
- 一元线性回归
- 一元线性回归的方程
- 一元线性回归距离衡量方法
- 一元线性回归的最优化求解
- 一元线性回归的最小二乘法解法
V1.1
线性回归问题
线性回归问题就是找一条线或超平面，并使用线或超平面来描述数据分布，即特征向量和特征标签的对应关系（线或超平面中也包含了特征标签的维度）。
线或超平面中既有特征向量的维度（
x
1
,
.
.
.
,
x
n
x_1,...,x_n
x1,...,xn），也有特征标签的维度(
y
y
y)。例如，特征向量只有一个维度，则模型可视化后有两个维度，及特征向量（
x
x
x）和特征标签（
y
y
y）的维度，用坐标系表示就是二维坐标系中的一条直线。
输入是一维或多维特征向量，输出是线性式（对应到使用线和超平面计算结果）计算的结果。
线性回归模型使用线性式描述，线性式的形式如下：
y
=
w
0
+
w
1
∗
x
1
+
w
2
∗
x
2
+
.
.
.
+
w
n
∗
x
n
y=w_0+w_1*x_1+w_2*x_2+...+w_n*x_n
y=w0+w1∗x1+w2∗x2+...+wn∗xn
模型的使用方法，使用数据训练得到模型后，输入待预测的特征向量，就会根据线性模型计算预测值。因为是用模型计算的，因此预测值会落在模型线性方程上。
线性方程的最优解
那么怎样找到线性方程的最优解呢？我们需要衡量每1个特征向量的预测值与真实值的距离，即距离衡量。
并且需要一种投票机制来衡量，根据每个特征向量的距离，计算正在研究的线性模型的总体损失，以得出模型的优劣程度。
一元线性回归
一元线性回归，一元指输入特征向量是一个维度，一元线性回归的输出也是一个维度。
一元线性回归的方程
一元线性回归模型使用如下方程描述
y
=
k
x
+
b
y=kx+b
y=kx+b
一元线性回归距离衡量方法
衡量一个模型总体的优劣程度要用到损失函数。计算预测值与真实值的差值的平方，并将其加和即可得到整体目前所测试的模型的总体损失。
一元线性回归的损失函数使用公式表述为：
∑
i
=
1
m
(
y
i
−
y
i
^
)
2
\sum_{i=1}^m(y_i-\hat{y_i})^2
i=1∑m(yi−yi^)2
其中
y
i
y_i
yi是特征向量的标签值，即真实值。
y
i
^
\hat{y_i}
yi^是正在研究的模型的对应特征向量的预测值。
一元线性回归的最优化求解
通过最小化损失函数，我们可以将一元线性回归问题，转化为最优化问题，并使用最优化问题的解法求解。
在研究的模型的总体损失值越小越好，越小的损失值，对应的模型更能准确的反应数据（即特征向量）的特征，其对应更优的参数。
在一元线性回归模型中，待求的参数是模型公式中的
k
k
k 和
b
b
b 。
arg min
k
,
b
∑
i
=
1
m
(
y
i
−
y
i
^
)
2
\argmin_{k,b}\sum_{i=1}^m(y_i-\hat{y_i})^2
k,bargmini=1∑m(yi−yi^)2
将
y
i
^
=
k
∗
x
i
+
b
\hat{y_i}=k*{x_i}+b
yi^=k∗xi+b带入，得到
arg min
k
,
b
∑
i
=
1
m
(
y
i
−
k
∗
x
i
−
b
)
2
\argmin_{k,b}\sum_{i=1}^m(y_i-k*{x_i}-b)^2
k,bargmini=1∑m(yi−k∗xi−b)2
最小化损失是找到最优的两个参数， k k k 和 b b b 使得模型的总体损失最小。
一元线性回归的最小二乘法解法
已经有数学的方法来计算一元线性回归的最优解，即最小二乘法，此外还有梯度下降的方法来求解。最小二乘法是一种数学方法，能够直接给出准确的解，而梯度下降的方法是搜索的方法。
最小二乘法公式如下，直接套用即可，输入训练数据，计算训练数据的平均值，即可得到最有参数
k
k
k 和
b
b
b 。
k
=
∑
i
=
1
m
(
x
i
−
x
ˉ
)
(
y
i
−
y
ˉ
)
∑
i
=
1
m
(
x
i
−
x
ˉ
)
2
k=\frac{\sum_{i=1}^m(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{m}(x_i-\bar{x})^2}
k=∑i=1m(xi−xˉ)2∑i=1m(xi−xˉ)(yi−yˉ)
b
=
y
ˉ
−
k
∗
x
ˉ
b=\bar{y}-k*\bar{x}
b=yˉ−k∗xˉ
