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前言

查找类问题是一个非常常见的任务。无论是从简单的数组中查找一个特定的数字，还是从复杂的数据结构中检索信息，查找算法的效率和正确性都十分重要。今天，我们将探讨一个有趣的查找问题：在不完全递增序的矩阵中查找特定的元素。

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一、题目引入

不完全递增矩阵

假设我们有一个二维矩阵，矩阵的每一行从左到右是递增的，但列与列之间并没有严格的递增关系。这种矩阵被称为“不完全递增序矩阵”。

例如，以下矩阵满足这一条件

1	3	5	7
2	4	6	8
10	11	12	13
9	14	15	16

在这个矩阵中，每一行都是递增的，但列与列之间并不完全递增。

问题描述

给定一个不完全递增序的矩阵和一个目标数字，编写一个程序来判断该数字是否存在于矩阵中。
假设矩阵如下，而且目标数字为 12：

1	3	5	7
2	4	6	8
10	11	12	13
9	14	15	16

此时，程序返回 true。

二、知识点分析

1. 矩阵的特性
   矩阵的每一行从左到右是递增的，这意味着我们可以利用这一特性来优化查找算法。虽然列与列之间没有严格的递增关系，但行的递增性仍然可以为我们提供一些线索。我们在接下来的文章中会利用这一点解题。
2. 查找算法
   在完全有序的矩阵中，我们可以从右上角或左下角开始查找，利用矩阵的有序性逐步缩小搜索范围（例如二分查找）。然而，在不完全递增序的矩阵中，这种方法不再适用。我们需要寻找一种新的策略来优化查找过程。
3. 时间复杂度
   对于一个 M×N 的矩阵，暴力搜索的时间复杂度为 O(M×N)。

三、解法实现与分析

1. 暴力搜索

最简单的查找方法是暴力搜索，即遍历矩阵的每一个元素，检查是否等于目标值。这种方法的时间复杂度为 O(M×N)，效率较低。

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

#define M 4
#define N 4

//暴力查找函数
bool find_brute_force(int matrix[M][N], int target) {
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            if (matrix[i][j] == target) {
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
//主函数
int main() {
	//定义数组
    int matrix[M][N] = {
        {1, 3, 5, 7},
        {2, 4, 6, 8},
        {10, 11, 12, 13},
        {9, 14, 15, 16}
    };

    int target = 12;
    //查找与输出
    if (find_brute_force(matrix, target)) {
        printf("Target %d found in the matrix.\n", target);
    } else {
        printf("Target %d not found in the matrix.\n", target);
    }

    return 0;
}

运行结果如下：

2. 逐行二分查找

虽然矩阵的列没有严格的递增关系，但每一行的递增性可以被利用。我们可以对每一行进行二分查找。这种方法的时间复杂度为 O(MlogN)。

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

#define M 4
#define N 4

bool binary_search(int arr[], int target) {
    int left = 0, right = N - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (arr[mid] == target) {
            return true;
        } else if (arr[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return false;
}

bool find_row_wise(int matrix[M][N], int target) {
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        if (binary_search(matrix[i], target)) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    int matrix[M][N] = {
        {1, 3, 5, 7},
        {2, 4, 6, 8},
        {10, 11, 12, 13},
        {9, 14, 15, 16}
    };

    int target = 12;
    if (find_row_wise(matrix, target)) {
        printf("Target %d found in the matrix.\n", target);
    } else {
        printf("Target %d not found in the matrix.\n", target);
    }

    return 0;
}

运行结果如下：

四、总结

通过分析条件的特性，选择合适的查找算法和数据结构，是程序员的重要素质。对于这道题，即不完全递增序的矩阵，逐行二分查找是一种有效的优化策略。

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