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引言

在实际问题中，动态过程的瞬时性态往往难以直接分析，而研究其稳定状态的特征则更具实际意义。本章介绍如何通过微分方程稳定性理论，结合再生资源管理、种群竞争等案例，分析系统的平衡点及稳定性，为实际决策提供数学依据。

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一、微分方程稳定性理论

1.1 基本概念

自治系统：若微分方程组不显含时间变量 $t$，则称为自治系统。例如：
$$\frac{dx}{dt}=F(x)$$
非自治系统可通过增补时间变量转化为自治系统。

相空间与轨线：

• 相空间是以状态变量为坐标的空间，如二维相平面。
• 轨线是系统解的曲线，相图是轨线的分布图。

平衡点（奇点）：
满足 $F(x_0)=0$ 的点称为平衡点。例如，线性系统：
$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=ax+by\\ \frac{dy}{dt}=cx+dy\end{array}$$
当 $ad-bc\ne 0$ 时，$(0,0)$ 是唯一平衡点。

1.2 平衡点的稳定性

• 稳定：初始扰动后，系统始终保持在平衡点附近。
• 渐近稳定：系统最终回到平衡点。
• 不稳定：初始扰动导致系统远离平衡点。

定理 1（线性系统稳定性）：
对于系统 $\frac{dx}{dt}=Ax$，若矩阵 $A$ 的所有特征值实部均为负，则零解渐近稳定；若存在正实部特征值，则零解不稳定。

定理 2（非线性系统的线性近似）：
若非线性系统在平衡点处的 Jacobian 矩阵非奇异，则可用线性近似系统判断稳定性。但当线性近似系统为稳定中心时，原系统的稳定性需进一步分析。

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二、再生资源的管理与开发

2.1 资源增长模型

假设鱼类数量 $x(t)$ 服从 Logistic 方程：
$$\dot{x}(t)=rx\left(1-\frac{x}{N}\right)$$

• 平衡点：$x_1=0$（不稳定）和 $x_2=N$（全局稳定）。
• 解的形式：
  $$x(t)=\frac{N}{1+e^{-rt}(N-N_0)/N_0}$$

2.2 资源开发模型

引入捕捞强度 $E$，模型修正为：
$$\dot{x}(t)=rx\left(1-\frac{x}{N}\right)-Ex$$

• 平衡点：$x_1=0$ 和 $x_2=N\left(1-\frac{E}{r}\right)$。
• 稳定性条件：当 $E<r$ 时，$x_2$ 是稳定平衡点，持续产量为 $h=E{x}_2$。

最大持续产量：
通过优化问题 $h_{\text{max}}=\max (E{x}_2)$，得到：
$$E_{\text{max}}=\frac{r}{2},h_{\text{max}}=\frac{rN}{4}$$

2.3 经济效益模型

考虑成本 $c$ 和价格 $p$，利润函数为：
$$R(E)=pNE\left(1-\frac{E}{r}\right)-cE$$
最优捕捞强度为：
$$E_{\text{max}}=\frac{r}{2}\left(1-\frac{c}{pN}\right)$$
此时鱼量和利润均高于纯产量模型，体现经济约束的合理性。

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三、种群的相互竞争模型

3.1 竞争方程

两个种群 $x_1$ 和 $x_2$ 的竞争模型：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=r_1{x}_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}-{\sigma }_1\frac{x_2}{N_2}\right)\\ {\dot{x}}_2=r_2{x}_2\left(1-{\sigma }_2\frac{x_1}{N_1}-\frac{x_2}{N_2}\right)\end{array}$$

• 平衡点：$P_1(N_1,0)$、$P_2(0,N_2)$、$P_3\left(\frac{N_1(1-{\sigma }_1)}{1-{\sigma }_1{\sigma }_2},\frac{N_2(1-{\sigma }_2)}{1-{\sigma }_1{\sigma }_2}\right)$。

3.2 稳定性分析

• 若 ${\sigma }_1<1,{\sigma }_2>1$，$P_1$ 稳定（乙灭绝，甲占优）。
• 若 ${\sigma }_1>1,{\sigma }_2<1$，$P_2$ 稳定（甲灭绝，乙占优）。
• 若 ${\sigma }_1<1,{\sigma }_2<1$，$P_3$ 稳定（共存）。
• 若 ${\sigma }_1>1,{\sigma }_2>1$，$P_3$ 为鞍点（竞争结果依赖初始条件）。

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总结

稳定性理论为分析复杂系统提供了有力工具。通过平衡点分析和线性近似，可快速判断系统长期行为，并在资源管理、生态保护等领域指导实践。下篇将深入讨论 Volterra 模型及其在渔业中的应用。