问题背景

给定一个包含非负整数的 $m\times n$ 网格 $grid$，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。

数据约束

• $m=grid.length$
• $n=grid[i].length$
• $1\le m,n\le 200$
• $0\le grid[i][j]\le 200$

解题过程

比较标准的动态规划题，可以根据回溯的实现翻译成递推，进行空间优化。
写递推的时候要注意数组下标不能为$-1$，要偏移来修正。

具体实现

递归

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] memo = new int[m][n];
        for (int[] row : memo) {
            Arrays.fill(row, -1);
        }
        return dfs(m - 1, n - 1, grid, memo);
    }

    private int dfs(int i, int j, int[][] grid, int[][] memo) {
        if (i < 0 || j < 0) {
            return Integer.MAX_VALUE;
        }
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[i][j];
        }
        if(memo[i][j] != -1) {
            return memo[i][j];
        }
        return memo[i][j] = Math.min(dfs(i, j - 1, grid, memo), dfs(i - 1, j, grid, memo)) + grid[i][j];
    }
}

递推

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        Arrays.fill(dp[0], Integer.MAX_VALUE);
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i + 1][0] = Integer.MAX_VALUE;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                dp[i + 1][j + 1] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

空间优化

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int n = grid[0].length;
        int[] dp = new int[n + 1];
        Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
        dp[1] = 0;
        for (int[] row : grid) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                dp[j + 1] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + row[j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}