一、题目描述
给定一个数组 trees，其中 trees[i] = [xi, yi] 表示树在花园中的位置。
你被要求用最短长度的绳子把整个花园围起来，因为绳子很贵。只有把 所有的树都围起来，花园才围得很好。
返回恰好位于围栏周边的树木的坐标。
示例 1:
输入: points = [[1,1],[2,2],[2,0],[2,4],[3,3],[4,2]] 输出: [[1,1],[2,0],[3,3],[2,4],[4,2]]
示例 2:
输入: points = [[1,2],[2,2],[4,2]] 输出: [[4,2],[2,2],[1,2]]
注意:
1 <= points.length <= 3000points[i].length == 20 <= xi, yi <= 100-
所有给定的点都是 唯一 的。
二、解题思路
这个问题是计算几何中的经典问题，称为“凸包问题”。凸包是包含所有给定点的最小凸多边形。在这个问题中，树木的位置是给定的点，我们需要找到这些点的凸包，这个凸包的顶点就是我们要找的树木坐标。
解决这个问题的常用算法有几种，比如“Graham扫描”和“Andrew扫描”。这里我将使用“Graham扫描”算法来解决这个问题，因为它相对简单且易于实现。
Graham扫描算法的步骤如下：
- 找到所有点中y坐标最小的点，如果有多个这样的点，则选择x坐标最小的点作为起点。
- 将所有点按照极角（相对于起点）进行排序。
- 从起点开始，按顺序遍历每个点，检查当前点是否使凸包的拐向从左到右。如果是，则将当前点添加到凸包中；如果不是，则移除前一个点，因为它不在凸包上。
- 重复步骤3，直到所有点都被处理。
三、具体代码
import java.util.*;
class Solution {
public int[][] outerTrees(int[][] trees) {
if (trees.length <= 1) return trees;
// Step 1: Find the starting point
int start = 0;
for (int i = 1; i < trees.length; i++) {
if (trees[i][1] < trees[start][1] || (trees[i][1] == trees[start][1] && trees[i][0] < trees[start][0])) {
start = i;
}
}
// Swap the starting point with the first point
int[] temp = trees[0];
trees[0] = trees[start];
trees[start] = temp;
// Step 2: Sort the points based on polar angle with respect to the starting point
Arrays.sort(trees, 1, trees.length, (a, b) -> {
int orientation = orientation(trees[0], a, b);
if (orientation == 0) {
return distance(trees[0], a) - distance(trees[0], b); // Sort by distance if collinear
}
return orientation;
});
// Step 3 and 4: Graham scan
List<int[]> hull = new ArrayList<>();
for (int[] p : trees) {
while (hull.size() >= 2 && orientation(hull.get(hull.size() - 2), hull.get(hull.size() - 1), p) > 0) {
hull.remove(hull.size() - 1); // Remove the last point
}
hull.add(p);
}
// Convert the hull list to array
return hull.toArray(new int[hull.size()][]);
}
// Helper function to calculate the cross product of vectors OA and OB
// A positive cross product indicates a counter-clockwise turn, 0 indicates a collinear point, and negative indicates a clockwise turn
private int orientation(int[] o, int[] a, int[] b) {
return (a[1] - o[1]) * (b[0] - a[0]) - (a[0] - o[0]) * (b[1] - a[1]);
}
// Helper function to calculate the squared distance between two points
private int distance(int[] a, int[] b) {
return (a[0] - b[0]) * (a[0] - b[0]) + (a[1] - b[1]) * (a[1] - b[1]);
}
}
四、时间复杂度和空间复杂度
1. 时间复杂度
- 寻找起始点：O(n)，其中n是数组
trees的长度。我们需要遍历所有点来找到y坐标最小（或x坐标最小，如果y坐标相同）的点。 - 排序点：O(n log n)，使用快速排序或其他基于比较的排序算法对点进行排序，根据极角（如果极角相同，则根据距离）。
- Graham扫描：O(n)，遍历排序后的点，对于每个点，我们可能需要从凸包中移除最后一个点，直到找到合适的点加入凸包。由于每个点最多被加入和移除一次，整个过程是线性的。
综上所述，总的时间复杂度是O(n log n)，因为排序步骤是主导步骤。
2. 空间复杂度
- 凸包列表：O(n)，在最坏的情况下，所有点都在凸包上，因此我们需要存储所有点。
- 辅助空间：O(1)，除了凸包列表外，我们只使用了常数额外空间。
因此，总的空间复杂度是O(n)，其中n是数组trees的长度。
五、总结知识点
-
算法设计：
- 凸包问题：理解凸包的概念以及如何通过算法找到给定点的凸包。
- Graham扫描算法：掌握Graham扫描算法的步骤，包括选择起始点、排序点、以及构建凸包。
-
数据结构：
- 数组：使用数组来存储点的坐标。
- 列表：使用
ArrayList来动态存储构成凸包的点。
-
排序：
- 自定义排序：使用
Arrays.sort方法和自定义比较器（Comparator）来根据极角和距离对点进行排序。
- 自定义排序：使用
-
数学概念：
- 向量叉乘：计算向量叉乘以确定点的相对位置（顺时针、逆时针或共线）。
- 距离计算：计算两点之间的欧几里得距离的平方，用于比较共线点之间的距离。
-
算法逻辑：
- 循环和条件判断：使用循环和条件判断来遍历点集，并在构建凸包时进行逻辑判断。
- 边界条件处理：检查点集长度，如果长度小于等于1，直接返回原点集。
-
辅助函数：
- 辅助函数
orientation：计算向量叉乘，用于判断点的相对位置。 - 辅助函数
distance：计算两点之间的距离的平方。
- 辅助函数
-
Java编程技巧：
- 数组操作：交换数组元素以将起始点置于数组首位。
- 泛型：使用泛型
ArrayList来存储int[]类型的点。 - Lambda表达式：在自定义排序中使用Lambda表达式简化代码。
以上就是解决这个问题的详细步骤，希望能够为各位提供启发和帮助。
