问题描述

有 1, 2,..., n ，n 个数字，其中有且仅有一个数字是中奖的，这个数字是等概率随机生成的。

Alice 和 Bob 进行一个游戏：

两人轮流猜一个 1 到 n 的数字，Alice 先猜。

每完成一次猜测，主持会大声说出刚刚的数字是猜小了还是猜大了或者猜中了，若猜中则猜的人赢下游戏。

假设两人都是聪明的理智的，而且都知道对方是聪明的，求 Alice 获胜的概率，请保留 5 位小数输出答案。

输入格式

一个正整数 n

• 100% 的数据满足 n ≤ 10^3

输出格式

保留 5 位小数输出答案。

输入样例

2

输出样例

0.50000

解题思路： 

动态规划思路

1. 定义状态：

   • 设 memo[i] 表示在有 i 个数字的情况下，Alice获胜的概率。

2. 初始条件：

   • 当只有一个数字时，Alice直接获胜，即 memo[1] = 1.0。
   • 当有两个数字时，Alice有50%的概率获胜，即 memo[2] = 0.5。

3. 状态转移方程：

   • 对于每个 i（从3到n），Alice可以选择猜任何一个数字 j（从1到i）。
   • 如果Alice猜 j，她获胜的概率是 memo[j-1]（如果猜小了）和 memo[i-j]（如果猜大了）的加权平均值。
   • 具体来说，Alice获胜的概率可以表示为：
     [
     memo[i] = \max_{1 \leq j \leq i} \left( \frac{1}{i} + \frac{j-1}{i} \cdot (1 - memo[j-1]) + \frac{i-j}{i} \cdot (1 - memo[i-j]) \right)
     ]

4. 计算顺序：

   • 从 i = 3 开始，逐步计算到 i = n。

5. 最终结果：

   • memo[n] 即为Alice在有 n 个数字的情况下获胜的概率。

 

 代码实现：

 1.首先是特判的部分：在1和2的时候答案是固定的

if (n == 1)
        return "1.00000";
    if (n == 2)
        return "0.50000";

2. 初始化：创建vector数组来做dp，同时把1和2的值放入数组

 

vector<double> memo(n + 1, 0.0);
    memo[1] = 1.0;
    memo[2] = 0.5;

3.状态更新：

整个表达式 1.0 / i + ((double)(j - 1) / i * (1 - memo[j - 1])) + ((double)(i - j) / i * (1 - memo[i - j])) 表示 Alice 选择猜数字 j 时，她获胜的总概率。这个概率是以下三部分的和：

1. 猜中数字 j 的概率。
2. 猜的数字 j 比中奖数字小的情况下，Alice 在剩下的 j - 1 个数字中获胜的概率。
3. 猜的数字 j 比中奖数字大的情况下，Alice 在剩下的 i - j 个数字中获胜的概率。

 对于直接猜中的：

1.0 / i是猜中一个数字的基础概率； 

对于猜到小的：((double)(j - 1) / i * (1 - memo[j - 1]))

(j - 1) / i 是猜的数字 j 比中奖数字小的概率 

(1 - memo[j - 1]) 是如果猜的数字 j 比中奖数字小，Alice 在剩下的 j - 1 个数字中获胜的概率。 

猜到大的： ((double)(i - j) / i * (1 - memo[i - j]))

(i - j) / i 是猜的数字 j 比中奖数字大的概率。

(1 - memo[i - j]) 是如果猜的数字 j 比中奖数字大，Alice 在剩下的 i - j 个数字中获胜的概率。

 

for (int i = 3; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            memo[i] = std::max(memo[i], 1.0 / i + ((double)(j - 1) / i * (1 - memo[j - 1]))
                    + ((double)(i - j) / i * (1 - memo[i - j])));
        }
    }

最终代码： 

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <algorithm>

std::string solution(int n) {
    // Please write your code here
    if (n == 1)
        return "1.00000";
    if (n == 2)
        return "0.50000";
    
    std::vector<double> memo(n + 1, 0.0);
    memo[1] = 1.0;
    memo[2] = 0.5;
    
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            memo[i] = std::max(memo[i], 1.0 / i + ((double)(j - 1) / i * (1 - memo[j - 1]))
                    + ((double)(i - j) / i * (1 - memo[i - j])));
        }
    }
    
    std::ostringstream oss;
    oss << std::fixed << std::setprecision(5) << memo[n];
    return oss.str();
}

int main() {
    // You can add more test cases here
    std::cout << (solution(2) == "0.50000") << std::endl;
    std::cout << (solution(931) == "0.50054") << std::endl;
    std::cout << (solution(924) == "0.50000") << std::endl;
    std::cout << (solution(545) == "0.50092") << std::endl;

    return 0;
}

运行结果：