问题概述
最大矩阵面积问题有两种：
- 在一个网格图中，一些格子里有障碍，求在网格图中规划一个矩形，使得它不会覆盖任何一个障碍格且面积最大。
- 在一个平面直角坐标系中，先给你规定一个大矩形（一般左下角是 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)，右上角是 ( M a x X , M a x Y ) (MaxX, MaxY) (MaxX,MaxY)），有一些障碍点，求在这个大矩形中规划一个小矩形，使得它不会覆盖每一个障碍点（障碍点可在矩形边缘）。
具体问题
对于第一个类型：洛谷 P4147 玉蟾宫
对于第二个类型：洛谷 P1578 奶牛浴场
解法
1.悬线法
一般用在方格图中，时间复杂度为整个方格图大小
O
(
n
m
)
O(nm)
O(nm)。
设
h
i
,
j
h_{i,j}
hi,j 表示从
(
i
,
j
)
(i, j)
(i,j) 出发，向上拓展，成一个左右宽度为一格的细长矩形的高度。
如下图：
（学校机房图片上传不上去，先鸽着）
再设
l
i
,
j
,
r
i
,
j
l_{i, j},\space r_{i, j}
li,j, ri,j 为以这个细长矩形为中轴线，向左、向右拓展，遇到第一个障碍格的列坐标（没有的话就分别设为
0
0
0 和
m
+
1
m + 1
m+1）。
如下图：
（同上）
枚举每个格子，求出每个 h i , j , l i , j , r i , j h_{i,j},l_{i,j},r_{i,j} hi,j,li,j,ri,j 的值，最后用 h i , j × ( r i , j − 1 − l i , j ) h_{i,j} \times (r_{i, j} - 1 - l_{i,j}) hi,j×(ri,j−1−li,j) 来更新最大面积 a n s ans ans。
下面给出玉蟾宫代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 7;
int n, m, ans = 1;
char g[maxn][maxn];
// l[i][j]:(i, j)向左能到达最远的地方
// r[i][j]:(i, j)向右能到达最远的地方
// h[i][j]:(i, j)向上能到达最远的地方
// ans = max(ans, (r[i][j] - l[i][j] + 1) * h[i][j])
// 看看是不是全是 R
bool check() {
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (g[i][j] != 'R')
return false;
return true;
}
int l[maxn][maxn], r[maxn][maxn], h[maxn][maxn];
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
cin >> g[i][j];
h[i][j] = 1, l[i][j] = r[i][j] = j;
}
for (int j = 2; j <= m; j++)
if (g[i][j - 1] == 'F' && g[i][j] == 'F')
l[i][j] = l[i][j - 1];
for (int j = m - 1; j >= 1; j--)
if (g[i][j + 1] == 'F' && g[i][j] == 'F')
r[i][j] = r[i][j + 1];
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (g[i][j] == 'F' && g[i - 1][j] == 'F' && i > 1) {
h[i][j] = h[i - 1][j] + 1;
if (l[i - 1][j] > l[i][j])
l[i][j] = l[i - 1][j];
if (r[i - 1][j] < r[i][j])
r[i][j] = r[i - 1][j];
/*
R F R
F F F
(2, 2)为当前所在位置，
l[2][2]原本等于1, r[2][2]原本等于3,
但由于g[1][2] == 'F', 符合 h 更新要求,
所以l[2][2]更新为2, r[2][2]更新为2.
*/
}
ans = max(ans, (r[i][j] - l[i][j] + 1) * h[i][j]);
/*
当l[2][2] == 2, r[2][2] == 2, h[2][2] == 2时,
答案显然不是最优,
当循环扫到(2, 1)时,
l[2][1] == 1, r[2][1] == 3, h[2][1] == 1,
答案最优.
*/
}
}
// 特判是否全为 R
if (check())printf("0\n");
else printf("%d\n", ans * 3);
return 0;
}
当然还可以用单调站求 h i , j , l i , j , r i , j h_{i,j},l_{i,j},r_{i,j} hi,j,li,j,ri,j ：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e3 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
bool a[maxn][maxn];
int h[maxn][maxn];
int l[maxn][maxn], r[maxn][maxn];
int sta[maxn], top;
int ans;
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j) {
char c; cin >> c;
a[i][j] = (c == 'F');
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= m; ++j)
if (a[i][j]) h[i][j] = h[i - 1][j] + 1;
top = 0;
for (int j = 1; j <= m; ++j) {
while (top > 0 && h[i][sta[top]] > h[i][j]) {
r[i][sta[top]] = j;
--top;
}
sta[++top] = j;
}
while (top > 0) {
r[i][sta[top]] = m + 1;
--top;
}
top = 0;
for (int j = m; j >= 1; --j) {
while (top > 0 && h[i][sta[top]] > h[i][j]) {
l[i][sta[top]] = j;
--top;
}
sta[++top] = j;
}
while (top > 0) {
l[i][sta[top]] = 0;
--top;
}
for (int j = 1; j <= m; ++j)
ans = max(ans, h[i][j] * (r[i][j] - 1 - l[i][j]));
}
// 这个不用特判
// 因为若全是 R, 每一个 h[i][j] 都为 0
printf("%d\n", ans * 3);
return 0;
}
2.障碍点法
一般用在平面直角坐标系中，时间复杂度与障碍点个数有关，为
O
(
n
2
)
O(n^2)
O(n2)。
可以看看这篇题解。
#include <bits/stdc++.h>
#define mkpr make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int maxn = 5e3 + 7;
int L, W, n;
struct point {
int x, y;
point() {}
point(int _x, int _y) : x(_x), y(_y) {}
} p[maxn];
bool cmp1(point a, point b) {return a.x < b.x;}
bool cmp2(point a, point b) {return a.y < b.y;}
int ans;
int main() {
scanf("%d%d%d", &L, &W, &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
p[++n] = point(0, 0), p[++n] = point(L, 0);
p[++n] = point(0, W), p[++n] = point(L, W);
sort(p + 1, p + n + 1, cmp1);
// 从左往右扫
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int up = W, down = 0;
for (int j = i; j <= n; ++j) {
while (p[i].x == p[j].x && j <= n) ++j;
if (j > n) break;
ans = max(ans, (up - down) * (p[j].x - p[i].x));
if (p[i].y <= p[j].y) up = min(up, p[j].y);
if (p[i].y > p[j].y) down = max(down, p[j].y);
}
}
// 从右往左扫
for (int i = n; i >= 1; --i) {
int up = W, down = 0;
for (int j = i; j >= 1; --j) {
while (p[i].x == p[j].x && j >= 1) --j;
if (j < 1) break;
ans = max(ans, (up - down) * (p[i].x - p[j].x));
if (p[i].y <= p[j].y) up = min(up, p[j].y);
if (p[i].y > p[j].y) down = max(down, p[j].y);
}
}
sort(p + 1, p + n + 1, cmp2);
// 特殊情况：小矩形左右边与大矩形左右边重合
for (int i = 1; i <= n - 1; ++i)
ans = max(ans, L * (p[i + 1].y - p[i].y));
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
