ask4 和 ask8 是通过归一化处理的幅度调制（Amplitude Shift Keying, ASK）星座点。归一化的目的是确保星座点的平均功率为 1。归一化操作通过将每个星座点除以一个常数来实现，这个常数通常是根据星座点的平均功率（或平方和）来确定的。

为什么 ask4 要除以 sqrt(5)？

首先，看看 ask4 的星座点：

ask4 = [-3, -1, 3, 1]/sqrt(5);

这些星座点未归一化之前的值是 [-3, -1, 3, 1]，这代表了 4-ASK 调制中的 4 个符号。为了使这些符号的平均功率为 1，我们需要计算这些符号的平方和并进行归一化。

1. 计算平方和：
   $\text{平方和}=(-3{)}^2+(-1{)}^2+3^2+1^2=9+1+9+1=20$

2. 计算平均功率：
   平均功率是平方和除以符号的数量（4 个符号）：
   $\text{平均功率}=\frac{20}{4}=5$

3. 归一化：
   要使星座点的平均功率为 1，需要将每个星座点除以一个常数，使得归一化后的平方和为 1。这个常数是平方和的平方根的倒数，即 sqrt(5)。因此，ask4 中的每个符号都会除以 sqrt(5)，从而实现归一化。

   归一化后的星座点：
   $\frac{-3}{\sqrt{5}},\frac{-1}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}$
   这样，ask4 的归一化星座点的平均功率为 1。

为什么 ask8 要除以 sqrt(21)？

同样，看看 ask8 的星座点：

ask8 = [-7, -5, -1, -3, 7, 5, 1, 3]/sqrt(21);

这些星座点未归一化之前的值是 [-7, -5, -1, -3, 7, 5, 1, 3]，代表 8-ASK 调制中的 8 个符号。我们同样需要计算这些符号的平方和并进行归一化。

1. 计算平方和：
   $\text{平方和}=(-7{)}^2+(-5{)}^2+(-1{)}^2+(-3{)}^2+7^2+5^2+1^2+3^2$
   $=49+25+1+9+49+25+1+9=168$

2. 计算平均功率：
   平均功率是平方和除以符号的数量（8 个符号）：
   $\text{平均功率}=\frac{168}{8}=21$

3. 归一化：
   同样地，要使星座点的平均功率为 1，我们需要将每个符号除以 sqrt(21)，从而实现归一化。

   归一化后的星座点：
   $\frac{-7}{\sqrt{21}},\frac{-5}{\sqrt{21}},\frac{-1}{\sqrt{21}},\frac{-3}{\sqrt{21}},\frac{7}{\sqrt{21}},\frac{5}{\sqrt{21}},\frac{1}{\sqrt{21}},\frac{3}{\sqrt{21}}$
   这样，ask8 的归一化星座点的平均功率为 1。

总结

归一化操作的目的是使得信号的平均功率为 1，这样可以简化后续的信号处理和解调，避免功率不一致导致的误差。