3.6.树状数组

news2025/1/19 13:45:07

树状数组

基本原理

树状数组（Binary Indexed Tree，简称 BIT）是一种高效的数据结构，它可以在O(log n)的时间复杂度下实现对数组的单点更新和区间求和操作。

前置知识

lowbit(int x) 函数：计算 x 的最低位的 1 及其后面的 0 组成的数，例如 lowbit(6)（二进制为 110）等于 2（二进制为 10）。
在树状数组中，i元素的右父节点为i+lowbit(i)，左父节点为i-lowbit(i)

核心操作

1. 单点更新

当更新数组中某个元素的值时，需要更新树状数组中与之相关的节点。对于更新操作 update(int index, int val)，从 index 开始，不断向上更新父节点，更新的规则是将 index 加上 index & -index，直到超出数组范围。

// 单点更新操作，将位置 index 的元素值增加 val
    void update(int i, int val) {
        while (i <= n) {
            tree[i] += val;
            i += lowbit(i);
        }
    }

void update(int i, int val): 定义一个公共成员函数 update，用于在树状数组的指定位置 i 增加一个值 val。
while (i <= n): 开始一个循环，只要 i 小于或等于 n，就继续执行循环。
tree[i] += val;: 将值 val 加到向量 tree 的第 i 个位置。
i += lowbit(i);: 更新索引 i，使其指向下一个需要更新的节点。lowbit(i) 返回 i 的最低有效位，这个操作确保了树状数组的更新操作能够正确地影响所有相关的节点。

2. 区间求和

对于查询区间 [1, index] 的和，从 index 开始，不断向下查找子节点，将结果累加，查找的规则是将 index 减去 index & -index，直到 index 为 0。

// 区间求和操作，求 [1, i] 的和
    int query(int i) {
        int sum = 0;
        while (i > 0) {
            sum += tree[i];
            i -= lowbit(i);
        }
        return sum;
    }

对于查询区间 [l, r] 的和，我们只需要分别求出区间[1, l] 和区间[1, r] 进行相减即可

// 区间求和操作，求 [l, r] 的和
    int query(int l, int r) {
        return query(r) - query(l - 1);
    }

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

class BinaryIndexedTree {
private:
    vector<int> tree;
    int n;

    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }

public:
    BinaryIndexedTree(int size) {
        n = size;
        tree.resize(n + 1,0);
    }

    // 单点更新操作，将位置 index 的元素值增加 val
    void update(int i, int val) {
        while (i <= n) {
            tree[i] += val;
            i += lowbit(i);
        }
    }

    // 区间求和操作，求 [1, i] 的和
    int query(int i) {
        int sum = 0;
        while (i > 0) {
            sum += tree[i];
            i -= lowbit(i);
        }
        return sum;
    }

    // 区间求和操作，求 [l, r] 的和
    int query(int l, int r) {
        return query(r) - query(l - 1);
    }
};

int main() {
    BinaryIndexedTree bit(10);
    bit.update(1, 1);
    bit.update(2, 2);
    bit.update(3, 3);
    bit.update(4, 4);
    bit.update(5, 5);
    bit.update(6, 6);
    bit.update(7, 7);
    bit.update(8, 8);
    bit.update(9, 9);
    bit.update(10, 10);

    cout << bit.query(1, 10) << endl; // 55

    return 0;
}

代码解释

BinaryIndexedTree类：
- bit 是存储树状数组的向量，n 是数组的长度。
- lowbit(int x) 函数：计算 x 的最低位的 1 及其后面的 0 组成的数，例如 lowbit(6)（二进制为 110）等于 2（二进制为 10）。
- update(int index, int val)函数：
  1. 从 index 开始，不断更新 bit[index] 的值。
  2. index += lowbit(index); 用于找到下一个需要更新的节点，直到 index 超出数组范围。
- query(int index)函数：
  1. 从 index 开始，将 bit[index] 的值累加到 sum 中。
  2. index -= lowbit(index); 用于找到下一个需要累加的节点，直到 index 为 0。