【大数据】机器学习------神经网络模型

news2025/1/15 17:00:42

一、神经网络模型

1. 基本概念
神经网络是一种模拟人类大脑神经元结构的计算模型，由多个神经元（节点）组成，这些节点按照不同层次排列，通常包括输入层、一个或多个隐藏层和输出层。每个神经元接收来自上一层神经元的输入，通过加权求和和激活函数处理后将结果传递给下一层。

在这里插入图片描述

2. 数学公式
对于一个具有 $L$ 层的神经网络，第 $l$ 层第 $j$ 个神经元的输入 $z_j^l$ 可以表示为：
在这里插入图片描述

其中 $w_{ij}^{l-1}$ 是第 $l - 1$ 层第 $i$ 个神经元到第 $l$ 层第 $j$ 个神经元的连接权重， $a_i^{l-1}$ 是第 $l - 1$ 层第 $i$ 个神经元的输出（激活值）， $b_j^l$ 是第 $l$ 层第 $j$ 个神经元的偏置。

激活函数 $a_j^l = f(z_j^l)$ ，常见的激活函数有：

Sigmoid 函数：
ReLU 函数：
Tanh 函数：

二、感知机与多层网络

1. 感知机
感知机是一种最简单的神经网络，可用于二分类任务。对于输入向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ，感知机的输出为：
在这里插入图片描述

其中 (sign) 函数为符号函数，当 (z\geq0) 时，(sign(z)=1)；当 (z<0) 时，(sign(z)=-1)。

2. 多层感知机（MLP）
多层感知机包含多个隐藏层，能够解决非线性可分问题。

代码示例：感知机

import numpy as np


class Perceptron:
    def __init__(self, input_size, learning_rate=0.01, epochs=100):
        self.weights = np.random.rand(input_size)
        self.bias = np.random.rand(1)
        self.learning_rate = learning_rate
        self.epochs = epochs

    def activation(self, z):
        return 1 if z >= 0 else -1

    def predict(self, x):
        linear_output = np.dot(x, self.weights) + self.bias
        return self.activation(linear_output)

    def train(self, X, y):
        for _ in range(self.epochs):
            for x, label in zip(X, y):
                prediction = self.predict(x)
                update = self.learning_rate * (label - prediction)
                self.weights += update * x
                self.bias += update


# 示例数据
X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
y = np.array([-1, -1, -1, 1])

# 初始化感知机
perceptron = Perceptron(input_size=2)

# 训练感知机
perceptron.train(X, y)

# 预测
print(perceptron.predict([1, 1]))

在这里插入图片描述

代码解释：

__init__ 方法初始化感知机的权重、偏置、学习率和训练轮数。
activation 是激活函数，这里使用简单的符号函数。
predict 计算感知机的输出。
train 方法根据训练数据更新权重和偏置。

三、误差逆传播算法（BP 算法）

BP 算法用于训练多层神经网络，通过计算输出误差并将其反向传播更新权重和偏置。

1. 前向传播
计算每层的输入和输出：
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2. 反向传播
计算输出层误差：
在这里插入图片描述

对于隐藏层：
在这里插入图片描述

权重更新公式：
在这里插入图片描述

偏置更新公式：
在这里插入图片描述

代码示例：BP 算法实现

import numpy as np


def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))


def sigmoid_derivative(z):
    return sigmoid(z) * (1 - sigmoid(z))


class NeuralNetwork:
    def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size):
        self.input_size = input_size
        self.hidden_size = hidden_size
        self.output_size = output_size
        self.weights_input_hidden = np.random.rand(self.input_size, self.hidden_size)
        self.weights_hidden_output = np.random.rand(self.hidden_size, self.output_size)
        self.bias_hidden = np.random.rand(self.hidden_size)
        self.bias_output = np.random.rand(self.output_size)

    def forward(self, x):
        self.z_hidden = np.dot(x, self.weights_input_hidden) + self.bias_hidden
        self.a_hidden = sigmoid(self.z_hidden)
        self.z_output = np.dot(self.a_hidden, self.weights_hidden_output) + self.bias_output
        self.a_output = sigmoid(self.z_output)
        return self.a_output

    def backward(self, x, y, learning_rate):
        # 计算输出层误差
        output_error = y - self.a_output
        output_delta = output_error * sigmoid_derivative(self.z_output)
        # 计算隐藏层误差
        hidden_error = np.dot(output_delta, self.weights_hidden_output.T)
        hidden_delta = hidden_error * sigmoid_derivative(self.z_hidden)
        # 更新权重和偏置
        self.weights_hidden_output += learning_rate * np.outer(self.a_hidden, output_delta)
        self.bias_output += learning_rate * output_delta
        self.weights_input_hidden += learning_rate * np.outer(x, hidden_delta)
        self.bias_hidden += learning_rate * hidden_delta


# 示例数据
X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
y = np.array([[0], [1], [1], [0]])

# 初始化神经网络
nn = NeuralNetwork(input_size=2, hidden_size=2, output_size=1)

# 训练
for epoch in range(10000):
    for x, target in zip(X, y):
        nn.forward(x)
        nn.backward(x, target, learning_rate=0.1)


# 预测
print(nn.forward([1, 1]))
```![在这里插入图片描述](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/65389eb31fe24fbea5bf766e92472d30.png)

**代码解释**：
- `sigmoid` 和 `sigmoid_derivative` 函数分别计算 sigmoid 函数及其导数。
- `NeuralNetwork` 类包含初始化权重和偏置、前向传播和反向传播的方法。
- `forward` 计算网络的输出。
- `backward` 计算误差并更新权重和偏置。


**四、全局最小与局部最小**

**1. 概念**
- **全局最小**：在整个参数空间中，损失函数达到的最小点。
- **局部最小**：在参数空间的某个局部区域内，损失函数达到的最小点，但不是全局最小。

**2. 解决方法**
- 随机初始化权重。
- 使用模拟退火等算法。


**五、其他常见神经网络**

**1. 卷积神经网络 (CNN)**
主要用于图像处理，利用卷积层提取特征，通过池化层降低维度。

**代码示例：使用 Keras 实现 CNN**
```python
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Conv2D, MaxPooling2D, Flatten, Dense
import numpy as np


# 构建简单的 CNN 模型
model = Sequential([
    Conv2D(32, (3, 3), activation='relu', input_shape=(28, 28, 1)),
    MaxPooling2D((2, 2)),
    Flatten(),
    Dense(10, activation='softmax')
])


# 编译模型
model.compile(optimizer='adam', loss='sparse_categorical_crossentropy', metrics=['accuracy'])


# 示例数据
X = np.random.random((100, 28, 28, 1))
y = np.random.randint(0, 10, (100,))


# 训练模型
model.fit(X, y, epochs=10)

代码解释：

Conv2D 是卷积层，MaxPooling2D 是池化层，Flatten 将多维数据展平，Dense 是全连接层。
model.compile 配置模型的优化器和损失函数。
model.fit 进行模型训练。

2. 循环神经网络 (RNN)
适用于序列数据，如文本、时间序列，通过隐藏状态保存序列信息。

代码示例：使用 Keras 实现 RNN

from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import SimpleRNN, Dense
import numpy as np


# 构建简单的 RNN 模型
model = Sequential([
    SimpleRNN(50, activation='relu', input_shape=(10, 1)),
    Dense(1)
])


# 编译模型
model.compile(optimizer='adam', loss='mse')


# 示例数据
X = np.random.random((100, 10, 1))
y = np.random.random((100, 1))


# 训练模型
model.fit(X, y, epochs=10)