参考资料：【俄罗斯数学教材选译】代数学引论（第1卷）基础代数【柯斯特利金】
文章目录
- 1. 方程的根式解问题
- 代数是研究各种数学对象之间代数关系的科学
下面介绍几个代数学典型的问题。
1. 方程的根式解问题
- 二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
ax^2+bx+c=0
ax2+bx+c=0的解公式
x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} x1,2=2a−b±b2−4ac - 三次方程
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
ax^3+bx^2+cx+d=0
ax3+bx2+cx+d=0解公式（卡尔达诺公式）的推导
- 令
x
=
y
−
b
3
a
x=y-\dfrac{b}{3a}
x=y−3ab，则
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a ( y − b 3 a ) 3 + b ( y − b 3 a ) 2 + c ( y − b 3 a ) + d = 0 y 3 + 3 a c − b 2 3 a 2 y + 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d 27 a 3 = 0 y 3 + p y + q = 0 , p = 3 a c − b 2 3 a 2 , q = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d 27 a 3 \begin{aligned} &ax^3+bx^2+cx+d=0\\ &a(y-\dfrac{b}{3a})^3+b(y-\dfrac{b}{3a})^2+c(y-\dfrac{b}{3a})+d=0\\ &y^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}y+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=0\\ &y^3+py+q=0,~~ p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},~~q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} \end{aligned} ax3+bx2+cx+d=0a(y−3ab)3+b(y−3ab)2+c(y−3ab)+d=0y3+3a23ac−b2y+27a32b3−9abc+27a2d=0y3+py+q=0, p=3a23ac−b2, q=27a32b3−9abc+27a2d - 令
y
=
u
+
v
y=u+v
y=u+v，则
y 3 + p y + q = 0 ( u + v ) 3 + p ( u + v ) + q = 0 u 3 + v 3 + ( 3 u v + p ) ( u + v ) + q = 0 \begin{aligned} &y^3+py+q=0\\ &(u+v)^3+p(u+v)+q=0\\ &u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \end{aligned} y3+py+q=0(u+v)3+p(u+v)+q=0u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0 - 令
3
u
v
+
p
=
0
3uv+p=0
3uv+p=0，即
v
=
−
p
3
u
v=-\dfrac{p}{3u}
v=−3up，则
u 3 + v 3 + q = 0 u 3 − p 3 27 u 3 + q = 0 \begin{aligned} &u^3+v^3+q=0\\ &u^3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0 \end{aligned} u3+v3+q=0u3−27u3p3+q=0 - 令
t
=
u
3
t=u^3
t=u3，则
u 3 − p 3 27 u 3 + q = 0 t − p 3 27 t + q = 0 t 2 + q t − p 3 27 = 0 t 1 , 2 = − q ± q 2 + 4 p 3 27 2 \begin{aligned} &u^3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0\\ &t-\frac{p^3}{27t}+q=0\\ &t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0\\ &t_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2} \end{aligned} u3−27u3p3+q=0t−27tp3+q=0t2+qt−27p3=0t1,2=2−q±q2+274p3 - 取 u = − q + q 2 + 4 p 3 27 2 3 u=\sqrt[3]{\dfrac{-q+ \sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2}} u=32−q+q2+274p3，则 v = − p 3 u = − q − q 2 + 4 p 3 27 2 3 v=-\dfrac{p}{3u}=\sqrt[3]{\dfrac{-q-\sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2}} v=−3up=32−q−q2+274p3
- 则 y = u + v y=u+v y=u+v是 y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y3+py+q=0的解
-
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
ax^3+bx^2+cx+d=0
ax3+bx2+cx+d=0的解为
x = u + v − b 3 a , u = − q + q 2 + 4 p 3 27 2 3 , v = − q − q 2 + 4 p 3 27 2 3 p = 3 a c − b 2 3 a 2 , q = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d 27 a 3 x=u+v-\dfrac{b}{3a},\\u=\sqrt[3]{\dfrac{-q+ \sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2}},~~v=\sqrt[3]{\dfrac{-q-\sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2}}\\ p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},~~q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} x=u+v−3ab,u=32−q+q2+274p3, v=32−q−q2+274p3p=3a23ac−b2, q=27a32b3−9abc+27a2d - v v v是随 u u u变化的， x x x的取值个数取决于 u u u。
- 在复数范围内，任何非零数都有且仅有 3 个立方根（一实根，二共轭虚根），所以 x x x有3个取值。
- 令
x
=
y
−
b
3
a
x=y-\dfrac{b}{3a}
x=y−3ab，则
- 四次方程也存在类似公式（费拉里方法）。
- n n n次一般方程 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n=0 xn+a1xn−1+⋯+an=0，当 n > 4 n>4 n>4时没有根式解。（1827年阿贝尔严格证明）
- 多项式方程 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0在扩域 F F F上根式可解的充分必要条件是其伽罗瓦群 G a ( E / F ) G_a(E/F) Ga(E/F)是可解群。对于五次及更高次的一般方程，其伽罗瓦群不是可解群，这就说明了一般五次及更高次方程没有根式解。
