霍夫变换（Hough Transform）是一种在图像处理和计算机视觉中用于检测具有特定形状的物体的方法，最常见的应用是检测图像中的直线和圆等几何形状。

一、原理

1. 直线检测
   • 在直角坐标系中，直线一般表示为$y=mx+b$（$m$是斜率，$b$是截距），但这种表示方式在处理垂直直线时会有问题（斜率无穷大），所以霍夫变换采用极坐标形式表示直线，即$\rho =x\cos \theta +y\sin \theta$，其中$\rho$是原点到直线的垂直距离，$\theta$是$x$轴与该垂线的夹角。
   • 对于图像中的每个点$(x,y)$，它可能在很多条直线上。在霍夫变换中，将$(x,y)$代入到极坐标直线方程中，得到一系列$(\rho ,\theta )$值。在参数空间$(\rho -\theta$空间）中，这些$(\rho ,\theta )$值对应的位置进行累加计数。
   • 当某个$(\rho ,\theta )$组合的累加计数超过一定阈值时，就认为在原图像中存在一条对应的直线。
2. 圆检测
   • 在平面直角坐标系中，圆的方程是$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，其中$(a,b)$是圆心坐标，$r$是半径。
   • 对于图像中的每个点((x,y))，在三维参数空间（(a - b - r)空间）中，对所有可能的$(a,b,r)$组合进行投票（累加计数）。当某个((a,b,r))组合的投票数超过阈值时，就认为在原图像中存在一个对应的圆。

二、优点

1. 对图像中的噪声不敏感，因为它是基于对图像中所有可能的形状进行统计投票的方法。
2. 能够检测出部分被遮挡的形状，只要有足够的信息来确定形状的参数。

三、缺点

1. 计算复杂度较高，尤其是在检测复杂形状或在高分辨率图像中时，需要大量的计算资源和时间。
2. 需要合理选择阈值，阈值过高可能导致漏检，阈值过低可能导致误检。

四、应用场景

1. 直线检测
   • 道路检测：在自动驾驶中，通过霍夫变换检测道路边界线。
   • 文档图像分析：检测表格中的直线、文档中的文本行等。
2. 圆检测
   • 工业检测：检测圆形零件的尺寸和位置是否符合标准。
   • 图像分析：例如在细胞图像中检测圆形的细胞。