将 G F ( p ) GF(p) GF(p)延伸为有 p m p^m pm个元素的域，称之为 G F ( p ) GF(p) GF(p)的扩域，表示为 G F ( p m ) GF(p^m) GF(pm). G F ( p ) GF(p) GF(p)是 G F ( p m ) GF(p^m) GF(pm)的子集。 G F ( p m ) GF(p^m) GF(pm)元素个数为 p m p^m pm。
例如
G
F
(
2
)
GF(2)
GF(2)是
G
F
(
2
m
)
GF(2^m)
GF(2m)的一个子域。在扩域中存在一个特殊元素
a
a
a，其满足
a
2
m
−
1
=
1
a^{2^m-1}=1
a2m−1=1。
这意味着任何幂次超过
2
m
−
1
{2^m-1}
2m−1都可以被将次小于
2
m
−
1
{2^m-1}
2m−1。
G F ( 2 m ) GF(2^m) GF(2m)可以表示为 0 , a 1 , a 1 , . . . , a 2 m − 2 0,a^1,a^1,...,a^{2^m-2} 0,a1,a1,...,a2m−2
二、本原多项式
一个 m m m阶的不可约多项式 f ( x ) f(x) f(x)，如果 f ( x ) f(x) f(x)整除 x n + 1 x^n+1 xn+1的最小正整数 n n n满足 n = 2 m − 1 n=2^m-1 n=2m−1，那么该多项式是本原多项式。
例如对于 f ( x ) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4 f(x)=1+x+x2+x3+x4我们需要检查其是否整除 x i + 1 , 1 ≤ i ≤ 15 x^i+1,1\le i\le 15 xi+1,1≤i≤15，我们发现他整除 x 5 + 1 x^5+1 x5+1，所以不是本原多项式。
三、定义有限域
比如选择本原多项式
f
(
x
)
=
1
+
x
+
x
3
f(x)=1+x+x^3
f(x)=1+x+x3，多项式幂次为3.对于模2运算，该多项式没有根。(f(0)=1,f(1)=1)。但是代数理论告诉我们该方程有三个根。用扩域元素
a
a
a来定义该根。
p
(
a
)
=
0
p(a)=0
p(a)=0，即
a
3
+
a
+
1
=
0
a^3+a+1=0
a3+a+1=0。
如果
G
F
(
p
)
GF(p)
GF(p)中所有元素可以被
a
a
a的幂次表示，那么称之为本原元。
