由于运算方式和存储容量的限制，计算机只能处理离散且有限长的数据，故“不得不”将无限长的采样序列在时域截断，再进行后续处理。由数据在时域截断引起失真。

分析余弦序列$x(n)=\cos ({\omega }_{0}n)$在时域截断前后频谱的变化规律。

对于无限长的余弦序列，其频谱为：

$$X(e^{j\omega })=\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\delta (\omega +{\omega }_0+2k\pi )+\delta (\omega -{\omega }_0+2k\pi )\right]$$

现用矩形窗对余弦序列进行时域截断，得到$x_N(n)=\cos ({\omega }_{0}n)R_N(n)$，$R_N(n)$为$N$点矩形窗函数。根据频域卷积定理可知，时域相乘对应频域的卷积运算，即：

$$X_N(e^{j\omega })=\frac{1}{2\pi }X(e^{j\omega })\ast W_N(e^{j\omega })$$

根据例 3.2 的结论可知，N 点矩形序列的 DTFT 结果为：

$$W_N(e^{j\omega })=\frac{1-e^{-j\omega N}}{1-e^{-j\omega }}=e^{-j\omega \frac{N-1}{2}}\frac{\sin (\omega N/2)}{\sin (\omega /2)}$$

余弦信号的频谱为冲激函数串，在此仅考虑$[-\pi ,\pi ]$区间正频率的 DTFT 结果，可得：

$$X_N(e^{j\omega })=\frac{1}{2}{W}_N(e^{j(\omega -{\omega }_0)})=\frac{1}{2}\frac{1-e^{-j(\omega -{\omega }_0)N}}{1-e^{-j(\omega -{\omega }_0)}}$$

余弦函数的连续傅里叶变换式冲激对。

频率分辨率指能区分的最小频率间隔。

示例

两个具有接近频率的复指数信号，频率分别为$F_1=10$Hz 和$F_2=12$Hz，采样间隔为$T=0.02$秒。考虑不同数据长度$L=10,15,30,100$，并进行零填充到 512 点。

$N=10$

DFT 使用$N=10$并进行零填充到 512 点。未分辨：$F_2-F_1=2$Hz$<1/(NT)=5$Hz。

• $N=10$: 数据长度为 10。

• 零填充到 512 点: 将数据长度扩展到 512 点。

• 未分辨: 两个频率$F_1$和$F_2$之间的差值为 2 Hz，小于频率分辨率$1/(NT)$，即 5 Hz。因此，这两个频率在 DFT 中无法分辨。
  ###$N=15$
  DFT 使用$N=15$并进行零填充到 512 点。未分辨：$F_2-F_1=2$Hz$<1/(NT)\approx 3.3$Hz。

• $N=15$: 数据长度为 15。

• 零填充到 512 点: 将数据长度扩展到 512 点。

• 未分辨: 两个频率$F_1$和$F_2$之间的差值为 2 Hz，小于频率分辨率$1/(NT)$，即约 3.3 Hz。因此，这两个频率在 DFT 中无法分辨。

$N=30$

DFT 使用$N=30$并进行零填充到 512 点。分辨：$F_2-F_1=2$Hz$>1/(NT)\approx 1.7$Hz。

• $N=30$: 数据长度为 30。
• 零填充到 512 点: 将数据长度扩展到 512 点。
• 分辨: 两个频率$F_1$和$F_2$之间的差值为 2 Hz，大于频率分辨率$1/(NT)$，即约 1.7 Hz。因此，这两个频率在 DFT 中可以分辨。

$N=100$

DFT 使用$N=100$并进行零填充到 512 点。分辨：$F_2-F_1=2$Hz$>1/(NT)=0.5$Hz。

• $N=100$: 数据长度为 100。
• 零填充到 512 点: 将数据长度扩展到 512 点。
• 分辨: 两个频率$F_1$和$F_2$之间的差值为 2 Hz，大于频率分辨率$1/(NT)$，即 0.5 Hz。因此，这两个频率在 DFT 中可以分辨。

% 参数设置
F1 = 10; % 第一个频率 (Hz)
F2 = 12; % 第二个频率 (Hz)
T = 0.02; % 采样间隔 (秒)
Fs = 1/T; % 采样频率 (Hz)
signal_length = [10, 15, 30, 100]; % 不同的数据长度
N = 512; % 512点

% 生成时间向量
t = 0:T:(signal_length(end)*T - T);

% 生成信号
signal = exp(1i*2*pi*F1*t) + exp(1i*2*pi*F2*t);

%% 
% 计算DFT并绘制
figure;
for L = signal_length
    % 选择前N个点
    signal_N = signal(1:L);
    
    % 计算DFT
    X = fft(signal_N,N);
    
    % 计算频率轴
    f = Fs*(0:N-1)/N;
    
    % 绘制DFT
    subplot(2, 2, vec2ind((signal_length == L)'));
    plot(f, abs(X));
    xlim([0,50])
    grid on
    title(['N = ', num2str(L)]);
    xlabel('Frequency (Hz)');
    ylabel('Magnitude');
end