文章目录
- 前言
- 一、线性结构
- 二、二叉树（BST）
- 三、平衡二叉树（AVL）
- 四、多路平衡查找树（B Tree）
- 五、加强版多路平衡查找树（B+ Tree）
- 总结
前言
树形结构是一种具有层次关系的数据结构，它通常用于表示具有父子关系或层级关系的数据。在计算机科学中，树形结构广泛应用于文件系统、数据库索引、XML/JSON解析、搜索引擎索引等场景。通过不断进化，mysql最后构造出B+Tree作为存储结构。
一、线性结构
线性结构（如数组、链表）是计算机科学中最基础的数据结构，它们以线性方式组织数据。然而，当面对更为复杂的问题时，线性结构的局限性逐渐显露。
为了解决线性结构的局限性，计算机科学家开始探索多维的数据组织方式，树形结构应运而生。树形结构通过分层和分支的方式，能够更准确地模拟现实世界中的复杂关系。
二、二叉树（BST）
二叉树的特征
左子树所有的节点都小于父节点，右子树所有的节点都大于父节点。投影到平面以后，就是一个有序的线性表。
但是二叉查找树有一个问题:
就是它的查找耗时是和这棵树的深度相关的，在最坏的情况下时间复杂度会退化成O(n)
假设插入的数字为 2-4-6-8-12-16，此时的树形结构为
变成了一个一边倒的斜树，也就是链表，查找的时候和链表是一样的时间，复杂度变成O(n)。
造成这个现象是因为不能自动平衡，于是计算机科学家开始进行升级–平衡二叉树
三、平衡二叉树（AVL）
AVL的每个节点的左子树和右子树的高度差（平衡因子）只能是-1、0或1。查找、插入和删除操作的时间复杂度均为O(log n)，其中n为树中节点的数量
例如下图，左侧的是AVL，右侧则不是AVL（高度差 > 1）
那如何保证二叉树的平衡呢？旋转操作与维护平衡
旋转操作：
- 为了恢复平衡二叉树的平衡性，需要进行旋转操作。旋转操作包括左旋、右旋、左右双旋和右左双旋等。
- 左旋操作将节点的右子树提升为新的根节点，并将原根节点降为新的左子节点。右旋操作则相反。
- 双旋操作是在一次左旋或右旋的基础上再进行一次右旋或左旋，以恢复树的平衡性。
维护平衡：
- 在进行插入或删除操作时，需要实时检查树的平衡性。一旦发现不平衡，就立即找到最小不平衡子树，并对其进行旋转操作以恢复平衡。
- 旋转操作不仅改变了节点的位置关系，还调整了节点的平衡因子和子树的高度。
例如：下面的树插入了14后，深度差大于1，此时需要右旋再左旋来生成新的AVL
代码实现：
class TreeNode {
int key;
int height;
TreeNode left, right;
TreeNode(int d) {
key = d;
height = 1;
}
}
class AVLTree {
TreeNode root;
// 右旋
TreeNode rightRotate(TreeNode y) {
TreeNode x = y.left;
TreeNode T2 = x.right;
// 进行右旋
x.right = y;
y.left = T2;
// 更新高度
y.height = Math.max(height(y.left), height(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(height(x.left), height(x.right)) + 1;
// 返回新的根
return x;
}
// 左旋
TreeNode leftRotate(TreeNode x) {
TreeNode y = x.right;
TreeNode T2 = y.left;
// 进行左旋
y.left = x;
x.right = T2;
// 更新高度
x.height = Math.max(height(x.left), height(x.right)) + 1;
y.height = Math.max(height(y.left), height(y.right)) + 1;
// 返回新的根
return y;
}
// 获取高度
int height(TreeNode N) {
if (N == null)
return 0;
return N.height;
}
// 获取平衡因子
int getBalance(TreeNode N) {
if (N == null)
return 0;
return height(N.left) - height(N.right);
}
// 插入节点
TreeNode insert(TreeNode node, int key) {
// 典型的BST插入
if (node == null)
return (new TreeNode(key));
if (key < node.key)
node.left = insert(node.left, key);
else if (key > node.key)
node.right = insert(node.right, key);
else // 重复键
return node;
// 更新当前节点的高度
node.height = 1 + Math.max(height(node.left), height(node.right));
// 获取平衡因子
int balance = getBalance(node);
// 如果当前节点失衡，则进行旋转
// 左左情况
if (balance > 1 && key < node.left.key)
return rightRotate(node);
// 右右情况
if (balance < -1 && key > node.right.key)
return leftRotate(node);
// 左右情况
if (balance > 1 && key > node.left.key) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
// 右左情况
if (balance < -1 && key < node.right.key) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
// 返回（未修改的）节点指针
return node;
}
// 查找节点（递归）
boolean search(TreeNode root, int key) {
// 基本情况：空树或树中只有一个节点
if (root == null || root.key == key)
return root != null;
// 如果键小于根节点的键，则递归地在左子树中查找
if (root.key > key)
return search(root.left, key);
// 否则递归地在右子树中查找
return search(root.right, key);
}
// 插入新键
void insert(int key) {
root = insert(root, key);
}
// 查找键
boolean search(int key) {
return search(root, key);
}
// 主函数（测试）
public static void main(String[] args) {
AVLTree tree = new AVLTree();
/* 构造树
50
/ \
30 70
/ \ / \
20 40 60 80 */
tree.insert(50);
tree.insert(70);
tree.insert(30);
tree.insert(20);
tree.insert(80);
tree.insert(40);
tree.insert(60);
// 查找键
System.out.println("查找 20: " + tree.search(20));
System.out.println("查找 30: " + tree.search(30));
System.out.println("查找 100: " + tree.search(100));
}
}
假设使用该结构作为数据存储结构的话，AVL如下所示
索引必须要存你建立索引的字段的值，对应关键字，比如id的值。还要存完整记录在磁盘上的地址，对应数据区。由于AVL树是二叉树，所以还要额外地存储左右子节点的指针。
- 当我们用树的结构来存储索引的时候，访问一个节点就要跟磁盘之间发生一次 I0 操作。InnoDB 操作磁盘的最小的单位是一页(或者叫一个磁盘块)，大小是16K(16384字节)，一个节点只放一个索引和数据地址，就会很浪费资源。
- 比如上面这张图，我们一张表里面有6条数据，当我们查询id=8的时候，要查询两个子节点，就需要跟磁盘交互3次，假设一次磁盘IO需要10ms， 6条数据就需要30ms，如果我们有上亿数据呢，那时间很很耗时。如果查询的数据是个范围，那这个时间又是成倍的增长。
所以这样的结构作为索引，是不太合理的。是需要去优化的。
我们把问题点列出来
- 1、节点保存的数据少，浪费资源 -> 让节点保存更多数据
- 2、树的深度太大，IO遍历太多 -> 节点保存的数据变多，那节点的分叉也可以变多，每个分叉后的节点又能保存数据，这样的话深度就大大减少
四、多路平衡查找树（B Tree）
B树是一种多路平衡查找树，广泛用于数据库和文件系统等需要动态排序数据结构的系统中。它以其高效的插入、删除、查找操作而著称，特别适合磁盘存储系统，可以有效减少磁盘I/O操作次数。有一个比较明显的特点：分叉数（路数）永远比关键字数多1
B树的定义和特性
-
阶（Order）：
B树的阶（order）是树的重要特性，通常用字母m表示。阶m表示每个节点最多有m个子节点。 -
节点的关键字（Keys）：
每个节点最多可以有m-1个关键字，最少有⌈m/2⌉-1个关键字（根节点可以例外）。 -
节点的子节点数量（Children）：
非叶子节点至少有⌈m/2⌉个子节点，至多有m个子节点。如果一个节点有n个关键字，则它恰好有n+1个子节点。 -
排序特性：
设x是一个节点，x中的关键字按顺序排列：K1, K2, …, Kn。则对于x的子节点：C1, C2, …, Cn+1，有所有节点C1中的关键字 < K1，所有节点C2中的关键字在K1和K2之间，以此类推。 -
平衡性：
B树是一种自平衡树，即从根节点到任意一个叶子节点的路径长度都相同。
B树的基本操作
1、搜索
搜索某个关键字从根节点开始：
- 在当前节点中找关键字，找到则结束搜索。
- 否则，如果未到叶子节点，根据关键字的大小找到下一层子节点继续搜索。
2、插入
向B树中插入关键字，需保持树的平衡性：
- 从根节点开始找到正确的叶子节点位置。
- 如果叶子节点未满，直接插入。
- 如果叶子节点已满，则进行节点分裂，将中间关键字提升到父节点。
这可能导致父节点分裂，递归向上处理，可能导致树的高度增加。
3、删除
从B树中删除关键字需要分几种情况：
-
在叶子节点删除关键字：
直接删除，如果节点关键字数少于最小值，则需要借位或合并处理。 -
在内部节点删除关键字：
找到前驱或后继关键字替换之，并递归删除前驱或后继关键字，类似于二叉查找树的删除。
采取借位或合并策略以保持树的平衡。
B树的优势
Mysql为了更好的利用磁盘的预读能力，把一个Page页的大小设置为16k，也就是一个节点（磁盘块）的大小是16K。也就是说在进行一次磁盘IO时，会把一个节点（16K）的索引加载到内存中。假设我们设置的一个表的索引字段类型是int，也就是4个字节，如果每个关键字对应的数据区(data)也是4个字节。
在不考虑子节点引用的情况下，那么在B Tree中，每个阶段大概能存储的关键字数量是：
( 16 * 1024 ) / 4+4 = 2048 个关键字
在B Tree中，一共有2049路。 对于二叉树来说，三层高度最多可以保存7个关键字，而对于这种2001路的B树，三层高度能够保存的关键字数远远大于二叉树，因此B Tree用来存储索引非常合适。
五、加强版多路平衡查找树（B+ Tree）
在Mysql的InnoDB引擎中，并没有使用B Tree作为索引的存储结构，而是使用B+Tree！它的存储结构如下图所示。
B+ Tree相比B Tree，做了以下几个方面的优化：
- B树的路数和关键字的个数的关系不再成立了，数据检索规则采用的是左闭合区间，路数和关键个数关系为1比1
- B+Tree的根节点和枝节点中都不会存储数据，只有叶子节点才存储数据，并且每个叶子节点都会增加一个指针指向响铃的叶子节点，形成一个有序链表结构。
在这样的几个B+ Tree结构下，假设我们要检索x=1的数据，那么检索的规则是：
- 取出跟磁盘块， 加载1/26/66三个关键字。
- x<=1， 取出磁盘块2，加载1/10/20三个关键字。
- x<=1， 取出叶子节点，加载1/8/9三个关键字。此时已经达到了叶子节点，命中1， 所以只需要加载对应1的数据内容（或者内容地址）即 可！
B+Tree特性带来的优势：
- 它是B Tree的变种，B Tree能解决的问题，它都能解决。B Tree解决的两大问题是什么？（每个节点存储更多关键字；路数更多）
- 扫库、扫表能力更强（如果我们要对表进行全表扫描，只需要遍历叶子节点就可以了，不需要遍历整棵B+Tree拿到所有的数据）
- B+Tree的磁盘读写能力相对于B Tree来说更强（根节点和枝节点不保存数据区，所以一个节点可以保存更多的关键字，一盘加载的关键字更多）
- 排序能力更强（因为叶子节点上有下一个数据区的指针，数据形成了链表）
- 效率更加稳定（B+Tree永远是在叶子节点拿到数据，所以IO次数是稳定的）
由于在B+ Tree中，每个节点不存存储数据区，只需要存储键值+指针，使得 B+ Tree在每个节点存储的路数更多。
假设索引字段+指针大小一共是16个字节，那么一个Page页（一个节点）能存储1000个这样的单元（键值+指针）。
假设一条记录是16bytes，一个叶子节点（一页）可以存储10条记录！
当数的深度是2的时候，就有1000^2个叶子节点，可存储的数据为1000 x 1000 x 10 =10000000（千万）
也就是说在InnoDB中B+树的深度在3层左右，就能满足千万级别的数据存储。
总结
架构的不断升级带来了更多的性能提升，这点值得我们参考与提升
