向量的内积和外积 为什么这样定义

flyfish

定义、公理与证明的区别

• 定义：
  定义是人为规定的，用于描述概念的含义。例如，内积和外积是根据实际需求定义的，目的是描述几何和代数性质。定义不需要证明。

• 公理：
  公理是数学中的基本假设，通常是显然成立或无需证明的。例如，欧几里得几何的平行线公理或线性代数中的向量空间公理。内积和外积不是公理，而是基于向量空间公理的派生。

• 证明：
  证明是通过逻辑推导得出一个命题成立的过程。例如，基于内积的定义，可以证明柯西-施瓦茨不等式。

1. 内积的定义和目的

定义：
内积是两个向量之间的标量乘积，通常定义为：
$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos \theta$$
其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角，$\Vert \mathbf{u}\Vert$ 和 $\Vert \mathbf{v}\Vert$ 分别是向量的模。

在欧几里得空间中，若用坐标表示：
$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i$$

目的：

1. 测量投影：内积描述了一个向量在另一个向量上的投影大小。
2. 计算夹角：通过内积可以快速计算两个向量之间的夹角。
3. 能量/功的计算：在物理中，力与位移的内积描述了功的大小。
4. 度量定义：内积用于定义向量空间的距离（欧几里得距离）。

2. 外积的定义和目的

定义：
外积是两个向量之间的向量乘积，结果是一个新的向量。通常定义为：
$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \sin \theta \mathbf{n}$$
其中 $\mathbf{n}$ 是垂直于 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的单位向量，方向由右手法则确定。

若在三维空间中以分量表示：
$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$$
（这是行列式的形式化表示。）

目的：

1. 描述垂直方向：外积生成一个与两个向量所在平面垂直的向量。
2. 计算面积：两个向量外积的模等于它们张成的平行四边形的面积。
3. 物理意义：在物理中，外积用于描述角动量、磁场力等方向性量。

外积和面积的关系：

外积 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 的模（大小）定义为：
$$\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}\Vert =\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \sin \theta$$
其中 $\theta$ 是向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 之间的夹角。几何意义上，$\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \sin \theta$ 恰好等于这两个向量张成的平行四边形的面积。

右手法则的意义：

外积不仅有大小，还包含方向，结果是一个垂直于两个向量所在平面的向量，其方向通过右手法则确定：

1. 将右手的四指从第一个向量 $\mathbf{u}$ 指向第二个向量 $\mathbf{v}$。
2. 大拇指指向的方向就是外积的方向。

这种方向的定义使得外积在物理和几何中有特定的应用，如确定旋转方向或描述三维空间的力矩。

3. 柯西（Cauchy）和施瓦茨（Schwarz）关于不等式的证明

柯西-施瓦茨不等式的内容：

在向量空间中，柯西-施瓦茨不等式表述为：
$$|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|\le \Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert$$
等号成立的条件是 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 线性相关。

证明思想：

柯西和施瓦茨的证明基于以下思想：

1. 定义一个辅助函数 $f(t)=\Vert \mathbf{u}+t\mathbf{v}{\Vert }^2$，研究它在任意 $t$ 下的非负性。
2. 通过展开 $\Vert \mathbf{u}+t\mathbf{v}{\Vert }^2$，得到：
   $$f(t)=\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}+2t(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})+t^2(\mathbf{v}\cdot \mathbf{v})$$
3. 利用二次函数的判别式非负性条件，推出 $|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|\le \Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert$。

4. 赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann）与吉布斯（Josiah Willard Gibbs）的贡献

格拉斯曼的贡献：

赫尔曼·格拉斯曼是一位德国数学家，他在1844年的著作《线性外积理论》（Die Lineale Ausdehnungslehre）中，首次系统地研究了向量之间的外积及其性质。他提出：

• 向量可以进行类似于“乘法”的操作，其结果是一个新的几何对象（例如平行四边形的面积）。
• 他开创了外代数的概念，成为后来线性代数和多维几何学的重要基础。

吉布斯的贡献：

美国物理学家吉布斯（Josiah Willard Gibbs）在19世纪末将格拉斯曼的外积思想应用到三维向量分析中。他发展了适合物理学的向量符号体系：

• 引入了**点积（内积）和叉积（外积）**的概念。
• 将外积的应用扩展到电磁学和力学中（如转矩、角动量的计算）。