【数据分析】布朗运动(维纳过程)

news2025/1/14 22:31:13

文章目录

  • 一、概述
  • 二、数学布朗运动
    • 2.1 数学定义
    • 2.2 布朗运动的数学模型
      • 2.21 标准布朗运动
      • 2.22 布朗运动的路径
      • 2.23 布朗运动的方程
  • 三、布朗运动在金融学中的应用
  • 四、数学构造(以傅里叶级数为例)
    • 4.1 傅里叶级数的基本思想
    • 4.2 构造布朗运动

一、概述

布朗运动(Brownian motion)是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。

布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。

其基本性质为:布朗运动W(t)是期望为0、方差为t(时间)的正态随机变量。

可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

它是在公元1827年英国植物学家罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时,发现微粒会呈现不规则状的运动,因而称它布朗运动。

布朗运动也能测量原子的大小,因为就是由水中的水分子对微粒的碰撞产生的,而不规则的碰撞越明显,就是原子愈小,因此根据布朗运动,定义原子的直径为 1 0 − 8 10^{-8} 108厘米。

布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动,而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。一般而言,花粉直径分布于30~50μm、最小亦有10μm,相较之下,水分子直径约0.3nm,略为花粉的十万分之一。因此,花粉难以产生不规则振动,事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中,“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味着“自花粉粒中迸出之微粒子”,而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时,时常受到误解,以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下,在大众一般观念中,此误会已然根深蒂固。(维基百科)

在布朗运动所讨论的微粒通常是指比分子和原子大得多的颗粒,这些颗粒可以是聚合物、胶体粒子或者是其他类型的微小悬浮物。这些颗粒的尺寸通常在纳米到微米级别,远大于单个分子或原子的尺寸。

布朗运动是由这些较大颗粒受到周围液体或气体中分子的随机碰撞引起的。由于分子和原子的尺寸非常小,它们在这种尺度上的行为表现为连续的流体,而不是作为单独的粒子。因此,布朗运动中的微粒不是分子或原子,而是被分子和原子的集体行为所影响的较大颗粒。

朗运动有下列的主要特性:

  1. 粒子的运动由平移及转移所构成,显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
  2. 粒子之移动显然互不相关,甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
  3. 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时,粒子的运动越活泼。
  4. 粒子的成分及密度对其运动没有影响。
  5. 粒子的运动永不停止。

二、数学布朗运动

也称为维纳过程

2.1 数学定义

从数学的角度看,布朗运动是一个连续时间、连续状态的随机过程,通常用 B t B_t Bt来表示其在时间 t t t的取值。具体地,布朗运动有以下几个重要的特征:

  1. 起始值为零 B 0 = 0 B_0 = 0 B0=0
  2. 独立增量:对于任意时刻 t 1 < t 2 < ⋯ < t n t_1 < t_2 < \dots < t_n t1<t2<<tn,增量 B t i + 1 − B t i B_{t_{i+1}} - B_{t_i} Bti+1Bti是独立的,并且这些增量的分布不依赖于过去的值。
  3. 正态分布增量:增量 B t + s − B t B_{t+s} - B_t Bt+sBt服从均值为0、方差为 s s s的正态分布,即 B t + s − B t ∼ N ( 0 , s ) B_{t+s} - B_t \sim \mathcal{N}(0, s) Bt+sBtN(0,s)
  4. 连续性 B t B_t Bt是连续的,但几乎处处不可微,即对每一个 t t t B t B_t Bt有连续的轨迹,但是其导数(如果存在)几乎处处为零。
  5. 独立性和正态性:布朗运动的增量服从正态分布,并且增量是独立的。这使得布朗运动在很多情况下成为一个简单且有效的模型,尤其在金融数学中,作为股票价格或其他资产价格变动的模型。

2.2 布朗运动的数学模型

2.21 标准布朗运动

标准布朗运动通常是指满足上述性质的一个随机过程,其常见的数学表示形式为:
B t ∼ N ( 0 , t ) 且 B 0 = 0. B_t \sim \mathcal{N}(0, t) \quad \text{且} \quad B_0 = 0. BtN(0,t)B0=0.

这意味着,对于任意时刻 t t t,布朗运动 B t B_t Bt的分布是均值为0、方差为 t t t的正态分布。

2.22 布朗运动的路径

布朗运动的路径是连续的,但不光滑。虽然布朗运动在任何时刻都是有定义的,但它几乎无处可微。更准确地说,布朗运动的轨迹几乎无处具有有限的导数,这意味着轨迹是非常不规则的。

布朗运动路径的一个典型特点是不可预测性,即使已知了过去的所有历史,布朗运动的未来路径也无法准确预测。路径的变化完全是随机的,无法通过常规的物理法则来预测。
在这里插入图片描述

2.23 布朗运动的方程

布朗运动常通过随机微分方程SDE)来描述。一个标准的布朗运动可以用以下的随机微分方程来表示:
d B t = σ d W t dB_t = \sigma dW_t dBt=σdWt

其中 σ \sigma σ是常数, W t W_t Wt表示标准布朗运动, d B t dB_t dBt是布朗运动的增量。

这种方程可以看作是描述随机运动的“微分方程”,其中 W t W_t Wt是一个标准的布朗运动, σ \sigma σ控制着布朗运动的波动幅度。

三、布朗运动在金融学中的应用

布朗运动最著名的应用之一是在金融领域的随机过程模型中,尤其是用于描述股票价格的变动。通过布朗运动模型,金融学家能够捕捉股票价格变化的随机性,并以此来定价期权、评估风险、制定交易策略等。

布莱克-斯科尔斯期权定价模型(Black-Scholes Model)中,资产价格 S t S_t St通常被假设为服从几何布朗运动(Geometric Brownian Motion, GBM),即:
d S t = μ S t d t + σ S t d B t dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t dSt=μStdt+σStdBt

其中 μ \mu μ是资产的期望回报率, σ \sigma σ是波动率, B t B_t Bt是标准布朗运动。

四、数学构造(以傅里叶级数为例)

利用傅里叶级数(Fourier Series)构造布朗运动的思想基于随机过程的扩展与分解方法。

布朗运动是一种具有独立增量正态分布增量的随机过程,其增量的方差与时间的间隔成正比。为了利用傅里叶级数构造布朗运动,需要借助一种表示方法,将布朗运动的路径视为一系列独立的正弦和余弦项的叠加。

4.1 傅里叶级数的基本思想

傅里叶级数通常用于将一个周期性的函数表示为一组正弦和余弦函数的和。

将布朗运动的增量看作是这些正弦项的组合,每个正弦项的频率、振幅等特性根据布朗运动的独立增量和正态分布的特性来设置。

傅里叶级数表示为:
f ( t ) = ∑ n = 1 ∞ a n sin ⁡ ( n ω t ) + b n cos ⁡ ( n ω t ) f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(n \omega t) + b_n \cos(n \omega t) f(t)=n=1ansin(t)+bncos(t)

其中 a n a_n an b n b_n bn是傅里叶级数的系数, ω \omega ω是频率。

4.2 构造布朗运动

用一个随机过程的傅里叶级数展开,其中每个系数是由独立的正态分布随机变量决定的。具体步骤如下:

  1. 选择正弦函数的频率
    设定傅里叶级数中正弦项的频率为 n n n(即 n ω n \omega )。通常,可以选择频率逐渐递增,即:
    ω n = n \omega_n = n ωn=n
    这意味着每个频率是一个整数倍,符合傅里叶级数的基本构造方法。

  2. 生成正态分布的随机变量
    对于每一个频率 n n n,给定一个随机变量 X n X_n Xn,它是服从正态分布的。即
    X n ∼ N ( 0 , 1 ) X_n \sim \mathcal{N}(0, 1) XnN(0,1)
    其中 N ( 0 , 1 ) \mathcal{N}(0, 1) N(0,1)表示均值为0,方差为1的标准正态分布。注意,正态分布的增量是独立的,因此 X n X_n Xn是彼此独立的。

  3. 构造布朗运动增量
    布朗运动的增量服从正态分布,且每个增量的方差与时间间隔成正比。为了使构造的过程符合布朗运动的特性,假设在时间间隔 [ 0 , T ] [0, T] [0,T]内,布朗运动 B ( t ) B(t) B(t)的增量在时间 t t t处的方差为 t t t,将布朗运动的增量表示为:
    B ( t ) = ∑ n = 1 ∞ X n n sin ⁡ ( n t ) B(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{X_n}{\sqrt{n}} \sin(n t) B(t)=n=1n Xnsin(nt)
    这里, X n n \frac{X_n}{\sqrt{n}} n Xn是归一化的系数,使得每个增量的方差为 t t t,即
    E [ B ( t ) 2 ] = t \mathbb{E}[B(t)^2] = t E[B(t)2]=t
    这个构造方式确保了布朗运动的方差随着时间 t t t的增长而增长,并且增量之间是独立的。

由于傅里叶级数中包含无穷多个项,为了保证所构造的过程具有连续的路径,可以通过适当的截断正则化来确保级数在有限的时间内收敛。实际操作中,可以将级数截断为有限项,得到一个近似的布朗运动过程,随着项数的增加,布朗运动的路径会越来越精确。

  1. 完整描述
    综上所述,布朗运动可以通过如下的傅里叶级数形式来构造:
    B ( t ) = ∑ n = 1 ∞ X n n sin ⁡ ( n t ) B(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{X_n}{\sqrt{n}} \sin(n t) B(t)=n=1n Xnsin(nt)
    其中 X n X_n Xn是独立的标准正态分布随机变量, X n n \frac{X_n}{\sqrt{n}} n Xn是归一化系数,确保增量的方差是 t t t,并且布朗运动在整个时间区间内是连续的。

  2. 路径的性质
    通过傅里叶级数构造的布朗运动具有以下性质:

    1. 增量的独立性:每个 X n X_n Xn都是独立的随机变量,因此,布朗运动的增量是独立的。
    2. 增量的正态分布:每个增量 X n X_n Xn服从标准正态分布,因此布朗运动的增量服从正态分布。
    3. 方差与时间成正比:由于每个项的系数 X n n \frac{X_n}{\sqrt{n}} n Xn和正弦函数的频率逐渐增大,布朗运动的方差随着时间增长而增长,且为 t t t
    4. 连续性:尽管级数中有无穷多项,使用合适的截断或正则化方法,可以保证布朗运动的路径是连续的。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/2250822.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

3.22【机器学习】决策树作业代码实现

4.1由于决策树只在样本同属于一类或者所有特征值都用完或缺失时生成叶节点&#xff0c;同一节点的样本&#xff0c;在路径上的特征值都相同&#xff0c;而训练集中又没有冲突数据&#xff0c;所以必定存在训练误差为0的决策树 4.2使用最小训练误差会导致过拟合&#xff0c;使得…

数字IC后端实现之PR工具中如何避免出现一倍filler的缝隙?

在数字IC后端实现中&#xff0c;由于有的工艺foundary不提供Filler1&#xff0c;所以PR工具Innovus和ICC2在做标准单元摆放时需要避免出现两个标准单元之间的缝隙间距是Filler1。为了实现这个目的&#xff0c;我们需要给PR工具施加一些特殊的placement constraint&#xff08;典…

群控系统服务端开发模式-应用开发-前端短信配置开发

一、添加视图 在根目录下src文件夹下views文件夹下param文件夹下sms文件夹下&#xff0c;新建index.vue&#xff0c;代码如下 <template><div class"app-container"><div class"filter-container" style"float:left;"><el…

111.有效单词

class Solution {public boolean isValid(String word) {if(word.length()<3){return false;}int countV0,countC0;//分别统计原音和辅音for(int i0;i<word.length();i){if(Character.isLetterOrDigit(word.charAt(i))){if(word.charAt(i)a||word.charAt(i)e||word.charA…

python图像彩色数字化

效果展示&#xff1a; 目录结构&#xff1a; alphabets.py GENERAL {"simple": "%#*-:. ","complex": "$B%8&WM#*oahkbdpqwmZO0QLCJUYXzcvunxrjft/\|()1{}[]?-_~<>i!lI;:,\"^. " } # Full list could be found here…

欧科云链研究院:比特币还能“燃”多久?

出品&#xff5c; OKG Research 作者&#xff5c;Hedy Bi 本周二&#xff0c;隔夜“特朗普交易” 的逆转趋势波及到比特币市场。比特币价格一度冲高至约99,000美元后迅速回落至93,000美元以下&#xff0c;最大跌幅超6%。这是由于有关以色列和黎巴嫩有望达成停火协议的传闻引发…

Unity之一键创建自定义Package包

内容将会持续更新&#xff0c;有错误的地方欢迎指正&#xff0c;谢谢! Unity之一键创建自定义Package包 TechX 坚持将创新的科技带给世界&#xff01; 拥有更好的学习体验 —— 不断努力&#xff0c;不断进步&#xff0c;不断探索 TechX —— 心探索、心进取&#xff01; …

E2、UML类图顺序图状态图实训

一、实验目的 在面向对象的设计里面&#xff0c;可维护性复用都是以面向对象设计原则为基础的&#xff0c;这些设计原则首先都是复用的原则&#xff0c;遵循这些设计原则可以有效地提高系统的复用性&#xff0c;同时提高系统的可维护性。在掌握面向对象七个设计原则基础上&…

【Java基础入门篇】一、变量、数据类型和运算符

Java基础入门篇 一、变量、数据类型和运算符 1.1 变量 计算机中的数据表示方式是&#xff1a;“二进制(0/1)”&#xff0c;但是同时也可以兼容其他进制&#xff0c;例如八进制、十进制、十六进制等。 Java变量的本质是&#xff1a;存储在固定空间的内容&#xff0c;变量名是…

前端学习笔记之文件下载(1.0)

因为要用到这样一个场景&#xff0c;需要下载系统的使用教程&#xff0c;所以在前端项目中就提供了一个能够下载系统教程的一个按钮&#xff0c;供使用者进行下载。 所以就试着写一下这个功能&#xff0c;以一个demo的形式进行演示&#xff0c;在学习的过程中也发现了中文路径…

【力扣】387.字符串中的第一个唯一字符

问题描述 思路解析 对于这种个数有限的问题&#xff0c;我的第一想法是使用桶排序来解决因为s中只有小写英文单词&#xff0c;所以我只需要一个26个单位的数组就好了通过 charAt() 来提取单个字符&#xff0c;然后通过 -‘a’ 来将其映射到 0~25&#xff0c;不然数组长度就被超…

数据采集中,除了IP池的IP被封,还有哪些常见问题?

在数据采集的过程中&#xff0c;代理IP池的使用无疑为我们打开了一扇通往信息宝库的大门。然而&#xff0c;除了IP被封禁这一常见问题外&#xff0c;还有许多其他问题可能影响数据采集的效果。本文将探讨在数据采集中&#xff0c;除了IP被封之外&#xff0c;还可能遇到的一些常…

【笔记】自动驾驶预测与决策规划_Part8_数据驱动的规划方法

文章目录 0. 前言1.生成模型1.1 Diffusion-ES1. Diffusion-ES算法介绍2. Diffusion-ES算法具体流程Diffusion Model 是什么&#xff1f;Diffusion-ES: Evolutionary StrategiesDiffusion-ES MethodDiffusion-ES Mapping Language instructions to reward functions with LLM pr…

里氏替换原则:Java面向对象设计的基石

在面向对象编程&#xff08;OOP&#xff09;中&#xff0c;继承是一个强大的工具&#xff0c;它允许我们创建新的类&#xff08;子类&#xff09;来复用和扩展现有类&#xff08;父类&#xff09;的功能。然而&#xff0c;继承也带来了复杂性&#xff0c;特别是在确保子类能够正…

C++笔记之单例模式与静态方法的使用辨析及代码规范

C++笔记之单例模式与静态方法的使用辨析及代码规范 code review! 文章目录 C++笔记之单例模式与静态方法的使用辨析及代码规范一.示例代码二.讲解2.1.代码规范2.1.1.单例模式实现2.1.2.静态方法实现2.1.3.单例模式结合静态方法2.2.总结一.示例代码 // 使用 set 方法设置值(通…

18:(标准库)DMA二:DMA+串口收发数据

DMA串口收发数据 1、DMA串口发送数据2、DMA中断串口接收定长数据包3、串口空闲中断DMA接收不定长数据包4、串口空闲中断DMA接收不定长数据包DMA发送数据包 1、DMA串口发送数据 当串口的波特率大于115200时&#xff0c;可以通过DMA1进行数据搬运&#xff0c;以防止数据的丢失。如…

加载不同本地gltf模型,模型内容不更新的解决方案

相关链接 http://mars3d.cn/editor-vue.html?keyex_6_2_2&idlayer-graphic/draw/draw-model 问题内容 加载本地gltf模型的时候&#xff0c;不clear图层&#xff0c;再打开其他本地gltf&#xff0c;gltf的内容就不更新 重现步骤 进入官网示例&#xff0c;贴入以下代码…

可视化建模以及UML期末复习篇----相关软件安装

作为一个过来人&#xff0c;我的建议是别过来。 一、可视化建模 <1>定义: 官方&#xff1a;一种使用图形符号来表示系统结构和行为的建模技术。 我&#xff1a;其实说白了就是把工作流程用图形画出来。懂不&#xff1f; <2>作用: 提高理解和分析复杂系统的能力。促…

AI开发 - GPT之魂 用Python 演示chatGPT的自注意力机制 - 机器学习

自注意力机制&#xff08;Self-Attention&#xff09;就是让模型在处理每个词时&#xff0c;学会“关注重点”&#xff0c;而不是平均地对每个词一视同仁。这种机制让 GPT 能更聪明地理解句子的上下文和语义之间的关系。 自注意力机制是 GPT 的核心&#xff0c;它帮助模型在理解…

Web 表单开发全解析:从基础到高级掌握 HTML 表单设计

文章目录 前言一、什么是 Web 表单?二、表单元素详解总结前言 在现代 Web 开发中,表单 是用户与后端服务交互的重要桥梁。无论是用户登录、注册、搜索,还是提交反馈,表单都无处不在。在本文中,我们将从基础入手,全面解析表单的核心知识点,并通过示例带你轻松掌握表单开…