一、知识点

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（一）罗尔定理

• 费马引理
  设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意的 $x\in U(x_0)$ ，有 $f(x)\le f(x_0)$(或 $f(x)\ge f(x_0)$) ，那么 $f^{\prime }(x_0)=0$.

• 罗尔定理

  如果函数 $f(x)$ 满足：

  (1) 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；

  (2) 在开区间 $(a,b)$ 内可导；

  (3) 在区间端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$，那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$.

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（二）拉格朗日中值定理

• 拉格朗日中值定理

  如果函数 $f(x)$ 满足

  (1) 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；

  (2) 在开区间 $(a,b)$ 内可导；

  那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$，使等式 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$ 成立.

• 拉格朗日中值定理的几何意义

  

  由上图可以看出，$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 为弦 $AB$ 的斜率，而 $f^{\prime }(\xi )$ 为曲线在点 $C$ 处的切线的斜率.

  因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线 $y=f(x)$ 的弧 $AB$ 上除端点外处处具有不垂直于 $x$ 轴的切线，那么这弧上至少有一点 $C$，使曲线在 $C$ 处的切线平行于弦 $AB$.

• 定理

  如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的导数恒为零，那么 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是一个常数.

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（三）柯西中值定理

• 柯西中值定理

  如果函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 满足

  (1) 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；

  (2) 在开区间 $(a,b)$ 内可导；

  (3) 对任一 $x\in (a,b)$ ，$F^{\prime }(x)\ne 0$ ，

  那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi$，使等式 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$ 成立.

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二、练习题

1. 验证罗尔定理对函数 $y=lnsinx$ 在区间 $[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}]$ 上的正确性.

• 证明：

  $\because$

  (1) $y=lnsinx$ 在区间 $[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}]$ 上连续，在区间 $(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6})$ 内可导

  (2) $y{|}_{x=\frac{\pi }{6}}=y{|}_{x=\frac{5\pi }{6}}=ln\frac{1}{2}$

  $\therefore$ 以上满足罗尔定理的前提条件

  $\because y^{\prime }=\frac{cosx}{sinx}=cotx$ ，当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时，$y^{\prime }=0$

  $\therefore$ 在 $(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6})$ 内至少存在一点 $x=\frac{\pi }{2}$，使得 $y^{\prime }=0$

  $\therefore$ 罗尔定理对题目所给函数的正确性得以验证.

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2. 验证拉格朗日中值定理对函数 $y=4x^3-5x^2+x-2$ 在区间 $[0,1]$ 上的正确性.

• 证明：

  题目所给函数在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，满足拉格朗日中值定理的前提条件.

  $\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=4-5+1-2-(0-0+0-2)=0$

  $y^{\prime }=12x^2-10x+1$

  当 $x=\frac{5\pm \sqrt{13}}{12}$ 时，$y^{\prime }=0$，且 $\frac{5-\sqrt{13}}{12}$ 和 $\frac{5+\sqrt{13}}{12}$ 均在区间 $(0,1)$ 内.

  $\therefore$ 拉格朗日中值定理对题目所给函数的正确性得以验证.

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3. 对函数 $f(x)=sinx$ 及 $F(x)=x+cosx$ 在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上验证柯西中值定理的正确性.

• 证明：

  (1) $f(x)$ 及 $F(x)$ 均在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上连续，在区间 $(0,\frac{\pi }{2})$ 内可导

  (2) 由于$f^{\prime }(x)=cosx$ 及 $F^{\prime }(x)=1-sinx$ 对任一 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 均不等于0

  $\therefore$ 以上满足柯西中值定理的前提条件

  $\because \frac{f(\frac{\pi }{2})-f(0)}{F(\frac{\pi }{2})-F(0)}=\frac{1-0}{\frac{\pi }{2}-1}=\frac{2}{\pi -2}$

  $\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}=\frac{cosx}{1-sinx}=\frac{sin(\frac{\pi }{2}-x)}{1-cos(\frac{\pi }{2}-x)}=\frac{cos(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})}{sin(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})}=cot(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})$

  当 $x=\frac{\pi }{2}-2arctan(\frac{\pi -2}{2})$ 时，$x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 且 $cot(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})=\frac{2}{\pi -2}$

  $\therefore$ 柯西中值定理对题目所给函数的正确性得以验证

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4. 试证明对函数 $y=p{x}^2+qx+r$ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 $\xi$ 总是位于区间的正中间.

• 证明：

  设 $[a,b]$ 为任意区间，由拉格朗日中值定理得，

  $\exists \xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

  $\because f^{\prime }(\xi )=2p\xi +q$ 及 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{p{b}^2+qb+r-p{a}^2-qa-r}{b-a}=p(a+b)+q$

  $\therefore 2p\xi +q=p(a+b)+q$

  $\therefore \xi =\frac{a+b}{2}$

  $\therefore \xi$ 总是位于区间的正中间

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5. 不用求出函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 的导数，说明方程 $f^{\prime }(x)=0$ 有几个实根，并指出它们所在的区间。

• 证明：

  $\because f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0$

  又 $\because f(x)$ 在区间 $[1,2][2,3][3,4]$ 上连续，在区间 $(1,2)(2,3)(3,4)$ 内可导

  $\therefore$ 根据罗尔定理得，存在 ${\xi }_1\in (1,2),{\xi }_2\in (2,3),{\xi }_3\in (3,4)$ 使得 $f^{\prime }({\xi }_1)=f^{\prime }({\xi }_2)=f^{\prime }({\xi }_3)=0$

  $\because f^{\prime }(x)=0$ 是三次多项式，有三个实根

  $\therefore {\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 是 $f^{\prime }(x)=0$ 得三个实根，分别属于区间 $(1,2)(2,3)(3,4)$.

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6. 证明恒等式 $arssinx+arccosx=\frac{\pi }{2}(-1\le x\le 1)$.

• 证明：

  设 $f(x)=arcsinx-arccosx$

  $\because f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0$

  $\therefore f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上是一个常数

  $\therefore f(0)=arcsin0+arccos0=0+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$

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7. 若方程 $a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x=0$ 有一个正根 $x=x_0$，证明方程 $a_{0}n{x}^{n-1}+a_1(n-1)x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}=0$ 必有一个小于 $x_0$ 的正根.

• 证明：

  令 $f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x$

  $f(0)=0$ 且 $f(x_0)=0$

  $f(x)$ 在 $[0,x_0]$ 上连续，在 $(0,x_0)$ 内可导

  由罗尔定理的，存在 $\xi \in (0,x_0)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

  $\therefore$ 题目得证.

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8. 若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内具有二阶导数，且 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)$，其中 $a<x_1<x_2<x_3<b$，证明：在 $(x_1,x_3)$ 内至少有一点 $\xi$，使得 $f^{\prime \prime }(\xi )=0$.

• 证明：

  由题意得 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 及 $[x_2,x_3]$ 上连续，在 $(x_1,x_2)$ 及 $(x_2,x_3)$ 内可导.

  根据罗尔定理，存在 ${\xi }_1\in (x_1,x_2)$ 及 ${\xi }_2\in (x_2,x_3)$ 使得 $f^{\prime }({\xi }_1)=f^{\prime }({\xi }_2)=0$

  $\because f^{\prime }(x)$ 在 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 上连续，在 $({\xi }_1,{\xi }_2)$ 内可导

  $\therefore$ 根据罗尔定理，存在 $\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (x_1,x_3)$ 使得 $f^{\prime \prime }(\xi )=0$

  $\therefore$ 题目得证.

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9. 设 $a>b>0$，$n>1$，证明：$n{b}^{n-1}(a-b)<a^n-b^n<n{a}^{n-1}(a-b)$.

• 证明：

  令 $f(x)=x^n$

  $\because f(x)$ 在区间 $[b,a]$ 上连续，在区间 $(b,a)$ 内可导

  $\therefore$ 根据拉格朗日中值定理得，$\exists \xi \in (b,a)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

  $\therefore n{\xi }^{n-1}=\frac{a^n-b^n}{a-b}$ 即 $(a-b)n{\xi }^{n-1}=a^n-b^n$

  $\because b<\xi <a$

  $\therefore n{b}^{n-1}(a-b)<n{\xi }^{n-1}(a-b)<n{a}^{n-1}(a-b)$

  $\therefore n{b}^{n-1}(a-b)<a^n-b^n<n{a}^{n-1}(a-b)$

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10. 设 $a>b>0$ ，证明：$\frac{a-b}{a}<ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}$.

• 证明：

  令 $f(x)=lnx$

  $\because f(x)$ 在区间 $[b,a]$ 上连续，在区间 $(b,a)$ 内可导

  $\therefore$ 根据拉格朗日中值定理得，$\exists \xi \in (b,a)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

  $\therefore \frac{1}{\xi }=\frac{lna-lnb}{a-b}$

  $\because b<\xi <a$

  $\therefore \frac{1}{a}<\frac{1}{\xi }<\frac{1}{b}$

  $\therefore \frac{1}{a}<\frac{lna-lnb}{a-b}<\frac{1}{b}$

  $\therefore \frac{a-b}{a}<ln\frac{a}{b}<\frac{1}{b}$

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11. 证明下列不等式：

(1) $|arctana-arctanb|\le |a-b|$

(2) 当 $x>1$ 时， $e^x>e\cdot x$

• 证明：

• (1)

  令 $f(x)=arctanx$

  根据拉格朗日中值定理，$\exists \xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

  即 $\frac{1}{1+{\xi }^2}=\frac{arctanb-arctana}{b-a}$

  $\therefore \left|\begin{array}{c}\frac{b-a}{1+{\xi }^2}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}arctanb-arctana\end{array}\right|$

  $\because 1+{\xi }^2\ge 1$

  $\therefore \left|\begin{array}{c}\frac{b-a}{1+{\xi }^2}\end{array}\right|\ge \left|\begin{array}{c}b-a\end{array}\right|$

  $\therefore \left|\begin{array}{c}arctana-arctanb\end{array}\right|\le \left|\begin{array}{c}a-b\end{array}\right|$

• (2)

  令 $f(x)=e^x$

  根据拉格朗日中值定理，$\exists \xi \in (1,x)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

  即 $e^{\xi }=\frac{e^x-e}{x-1}$

  $\therefore (x-1)e^{\xi }=e^x-e$

  $\because \xi >1$

  $\therefore (x-1)e^{\xi }>(x-1)e$

  $\therefore e^x-e>e\cdot x-e$

  $\therefore e^x>e\cdot x$

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12. 证明方程 $x^5+x-1=0$ 只有一个正根.

• 证明：

  令 $f(x)=x^5+x-1$

  假设 $x^5+x-1=0$ 的正根数量大于1.

  $\therefore \exists x_1>x_2>0$ 是其中两个正根

  $\because f(x)$ 在 $[x_2,x_1]$ 上连续，在 $(x_2,x_1)$ 内可导

  $\therefore$ 根据罗尔定理，$\exists \xi \in (x_2,x_1)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

  但是 $f^{\prime }(x)=5x^4+1>0$，与 $f^{\prime }(\xi )=0$ 矛盾，假设不成立.

  $\therefore f(x)=0$ 最多有一个正根

  $\because f(0)=-1,f(1)=1$

  $\therefore \exists {\xi }_1\in (0,1)$ 使得 $f({\xi }_1)=0$

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13. 设 $f(x)$、$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，证明在 $(a,b)$ 内有一点 $\xi$，使 $\left|\begin{array}{cc}f(a)& f(b)\\ g(a)& g(b)\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{cc}f(a)& f^{\prime }(\xi )\\ g(a)& g^{\prime }(\xi )\end{array}\right|$.

• 证明：

  令 $F(x)=\left|\begin{array}{cc}f(a)& f(x)\\ g(a)& g(x)\end{array}\right|=f(a)g(x)-f(x)g(a)$

  则 $F^{\prime }(x)=f(a)g^{\prime }(x)-g(a)f^{\prime }(x)=\left|\begin{array}{cc}f(a)& f^{\prime }(x)\\ g(a)& g^{\prime }(x)\end{array}\right|$

  $\because f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导

  $\therefore F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导

  根据拉格朗日中值定理，$\exists \xi \in (a,b)$，使得 $F^{\prime }(\xi )=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$

  $\therefore$$\left|\begin{array}{cc}f(a)& f(b)\\ g(a)& g(b)\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{cc}f(a)& f^{\prime }(\xi )\\ g(a)& g^{\prime }(\xi )\end{array}\right|$.

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14. 证明：若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内满足关系式 $f^{\prime }(x)=f(x)$，且 $f(0)=1$，则 $f(x)=e^x$.

• 证明：

  令 $F(x)=\frac{f(x)}{e^x}$

  则 $F^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)e^x-f(x)ex}{e^{2x}}=\frac{f^{\prime }(x)-f(x)}{e^x}=0$

  $\therefore F(x)$ 为常数

  取 $x=0$，得 $F(0)=\frac{f(0)}{e^0}=1$

  $\therefore F(x)$ 恒等于1

  $\therefore f(x)=e^x$

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15. 设函数 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有 $n$ 阶导数，且 $f(0)=f^{\prime }(0)=\cdots =f^{(n-1)}(0)=0$，试用柯西中值定理证明：$\frac{f(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}(0<\theta <1)$.

• 证明：

  $\because y=f(x)$ 及 $x^n$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有 $n$ 阶导数

  $\therefore$ 由柯西中值定理可得，$\exists {\xi }_1\in (0,x)$ 使得 $\frac{f(x)-f(0)}{x^n-0^n}=\frac{f(x)}{x^n}=\frac{f^{\prime }({\xi }_1)}{n{\xi }_1^{n-1}}$

  $\because f^{\prime }(x)$ 及 $n{x}^{n-1}$ 满足柯西中值定理得前提条件

  $\therefore \exists {\xi }_2\in (0,{\xi }_1)$，使得 $\frac{f^{\prime }({\xi }_1)-f^{\prime }(0)}{n{\xi }_1^{n-1}-n{0}^{n-1}}=\frac{f^{\prime }({\xi }_1)}{n{\xi }_1^{n-1}}=\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_2)}{n(n-1){\xi }_2^{n-2}}$

  $\cdots$

  $\therefore \exists {\xi }_n\in (0,{\xi }_{n-1})$，使得 $\frac{f^{(n-1)}({\xi }_{n-1})-f^{(n-1)}(0)}{n!{\xi }_{n-1}-n!0}=\frac{f^{(n-1)}({\xi }_{n-1})}{n!{\xi }_{n-1}}=\frac{f^{(n)}({\xi }_n)}{n!}$

  $\therefore \frac{f(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}({\xi }_n)}{n!}$

  $\because {\xi }_n\in (0,{\xi }_{n-1})\subset (0,x)$

  $\therefore \exists \theta \in (0,1)$ 使得 ${\xi }_n=\theta x$

  $\therefore \frac{f(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}(0<\theta <1)$

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• 学习资料
  1.《高等数学（第六版）》 ，同济大学数学系 编

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