空域圆域函数的傅里叶变换

空域圆域函数（也称为空间中的圆形区域函数）通常指的是在二维空间中，以原点为中心、半径为$a$的圆内取值为1，圆外取值为0的函数。这种函数可以表示为：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{x}^2+y^2\le a^2\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

二维傅里叶变换定义为：

$$F(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$$

对于上述给定的圆形区域函数，其傅里叶变换$F(u,v)$不能直接用简单的解析表达式来表示，但可以通过积分计算得到。由于该函数是关于原点对称的，并且仅依赖于到原点的距离，因此其傅里叶变换也将是关于原点对称的，并且只与频率变量$u,v$到原点的距离有关。具体来说，$F(u,v)$可以表示为$F(\rho )$，其中$\rho =\sqrt{u^2+v^2}$。

傅里叶变换的结果涉及到第一类贝塞尔函数$J_1$，它描述了变换后的分布特性。对于给定的圆形区域函数，其傅里叶变换形式为：

$$F(\rho )=\frac{a}{\rho }{J}_1(2\pi a\rho )$$

这里，$J_1$是第一类贝塞尔函数的第一个阶数。这个结果表明，在频率域中，原始圆形区域的影响随着距离增大而逐渐减小，且具有振荡性质，这反映了原始信号的空间局限性导致的频谱特征。

频域圆域函数的傅里叶逆变换

对于一个二维频域中的理想低通滤波器，其频率响应$H(u,v)$可以表示为：

$$H(u,v)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{u}^2+v^2\le R^2\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

其中$R$是圆的半径。该函数在时域（或空间域）的逆傅里叶变换$f(x,y)$可以写成等号的形式如下：

$$f(x,y)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }H(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$$

由于$H(u,v)$在圆外为0，在圆内为1，我们可以将积分限制到圆内：

$$f(x,y)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_{u^2+v^2\le R^2}{e}^{j2\pi (ux+vy)}dudv$$

这个积分可以进一步简化，并且已知结果是与第一类贝塞尔函数$J_1$有关的一个表达式。理想低通滤波器的空间域响应可以表示为：

$$f(x,y)=\frac{R}{4{\pi }^2}\cdot \frac{J_1(2\pi R\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

这里$J_1(z)$是第一类贝塞尔函数，$R$是圆的半径。

推导过程

理想低通滤波器在频域中的表示是一个在以原点为中心、半径为$R$的圆域内为1，圆域外为0的函数。其数学表达式为：

$$H(u,v)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{u}^2+v^2\le R^2\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

计算这个频域函数的傅里叶逆变换，以得到其在空间域中的表示$h(x,y)$。傅里叶逆变换的公式为：

$$h(x,y)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }H(u,v)e^{i2\pi (ux+vy)}dudv$$

由于$H(u,v)$只在圆域内非零，积分可以简化为在圆域内的积分：

$$h(x,y)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_{u^2+v^2\le R^2}{e}^{i2\pi (ux+vy)}dudv$$

为了简化计算，我们将直角坐标系下的积分转换到极坐标系下。设$u=r\cos \theta$和$v=r\sin \theta$，则$dudv=rdrd\theta$。因此，积分变为：

$$h(x,y)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_0^R{\int }_0^{2\pi }{e}^{i2\pi r(x\cos \theta +y\sin \theta )}rdrd\theta$$

首先计算内层积分：

$${\int }_0^{2\pi }{e}^{i2\pi r(x\cos \theta +y\sin \theta )}d\theta$$

令$z=x\cos \theta +y\sin \theta$，则$z$可以看作是$r$与$(x,y)$之间的点积。利用 Bessel 函数的性质，可以得到：

$${\int }_0^{2\pi }{e}^{i2\pi r(x\cos \theta +y\sin \theta )}d\theta =2\pi J_0(2\pi r\sqrt{x^2+y^2})$$

其中$J_0$是零阶第一类 Bessel 函数。因此，原积分变为：

$$h(x,y)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_0^{R}2\pi J_0(2\pi r\sqrt{x^2+y^2})rdr$$

进一步简化：

$$h(x,y)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^R{J}_0(2\pi r\sqrt{x^2+y^2})rdr$$

接下来，计算这个积分。令$k=2\pi \sqrt{x^2+y^2}$，则积分变为：

$$h(x,y)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^R{J}_0(kr)rdr$$

利用 Bessel 函数的积分性质，可以得到：

$${\int }_0^R{J}_0(kr)rdr=\frac{R{J}_1(kR)}{k}$$

因此，最终的解析表达式为：

$$h(x,y)=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{R{J}_1(2\pi R\sqrt{x^2+y^2})}{2\pi \sqrt{x^2+y^2}}$$

简化后：

$$h(x,y)=\frac{R}{4{\pi }^2}\cdot \frac{J_1(2\pi R\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

这就是理想低通滤波器的傅里叶逆变换的解析表达式。