1 SVM算法原理

1.1 目标函数确定

SVM思想：要去求一组参数（w,b),使其构建的超平面函数能够最优地分离两个集合

样本空间中任意点x到超平面（w,b）的距离可写成：

欲找到具有最大间隔的划分超平面，也就是要找到能满足下式中约束的参数w和b，使得间隔γ最大。

• y为正例的时候取值为1，y为负例的时候取值为-1
  距离超平面最近的几个训练样本点使上式等号成立，他们被称为“支持向量”，两个异类支持向量到超平面的距离之和为：

1.2 约束条件优化问题转换

1.3 对偶问题转换

此时，求解当 α 是什么值时，该值会变得很大，当求出 α 值，再求解 w, b 值。此时，就变成了极大极小值问题。

1.4 确定超平面

1.5 计算举例

1.6 SVM原理小节

1. 支持向量机公式推导最主要找到 w、b 的求解方法
2. α 非0的样本为支持向量

2 SVM核函数

2.1 核函数的作用

核函数将原始输入空间映射到新的特征空间，从而，使原本线性不可分的样本可能在核空间可分。

2.2 核函数分类

当存在线性不可分的场景时，我们需要使用核函数来提高训练样本的维度、或者将训练样本投向高维

1. 线性核：一般是不增加数据维度，而是预先计算内积，提高速度
2. 多项式核：一般是通过增加多项式特征，提升数据维度，并计算内积
3. 高斯核（RBF、径向基函数）：一般是通过将样本投射到无限维空间，使得原来不可分的数据变得可分。高斯核函数使用的最多。

SVM 默认使用 RBF 核函数，将低维空间样本投射到高维空间，再寻找分割超平面。

2.3 高斯核函数

高斯核 Radial Basis Function Kernel (径向基函数，又称RBF核)

• $\gamma =\frac{1}{2{\sigma }^2}$
• $\gamma$是超参数，作用与标准差相反
• $\gamma$越大，高斯分布越窄，数据越集中；$\gamma$越小，高斯分布越宽，数据越分散

2.3 高斯核函数API

from sklearn.svm import SVC
SVC(kernel="rbf",gamma=gamma)

from sklearn.datasets import make_moons
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.svm import SVC
from plot_util import plot_decision_boundary


# 获取数据
x,y=make_moons(noise=0.15)
plt.scatter(x[y==0,0],x[y==0,1])
plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1])
plt.show()

# 构建函数
def RBFsvm(gamma=0.1):
    return Pipeline(
        [
            ('std_scalar',StandardScaler()),
            ('svc',SVC(kernel='rbf',gamma=gamma))
        ]
    )

# 实验
# svc1 =RBFsvm(0.5)
# x_std=svc1['std_scalar'].fit_transform(x)
# svc1.fit(x_std,y)
# plot_decision_boundary(svc1,axis=[-3,3,-3,3])
# plt.scatter(x_std[y==0,0],x_std[y==0,1])
# plt.scatter(x_std[y==1,0],x_std[y==1,1])
# plt.show()

svc1 =RBFsvm(1.0)
svc1.fit(x,y)
plot_decision_boundary(svc1,axis=[-1.5,2.5,-1,1.5])
plt.scatter(x[y==0,0],x[y==0,1])
plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1])
plt.show()


svc2 =RBFsvm(100)
svc2.fit(x,y)
plot_decision_boundary(svc2,axis=[-1.5,2.5,-1,1.5])
plt.scatter(x[y==0,0],x[y==0,1])
plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1])
plt.show()

svc3 =RBFsvm(0.1)
svc3.fit(x,y)
plot_decision_boundary(svc3,axis=[-1.5,2.5,-1,1.5])
plt.scatter(x[y==0,0],x[y==0,1])
plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1])
plt.show()

2.4 超参数$\gamma$