• Leetcode 3351. Sum of Good Subsequences
  • 1. 解题思路
  • 2. 代码实现

• 题目链接：3351. Sum of Good Subsequences

1. 解题思路

这一题算是一个比较典型的动态规划的题目。

我们首先定义两个动态规划的数组$c_i$和$s_i$，分别表示：

• $c_i$: 以第$i$个位置作为起点的满足条件的子序列的个数
• $s_i$：以第$i$个位置作为起点的满足条件的子序列元素之和的总和

则显然我们可以给出递推关系：

$$\begin{array}{rl}{c}_i& =1+\sum _{j=i+1}^N\delta (n_i-1-n_j)\cdot c_j+\sum _{j=i+1}^N\delta (n_i+1-n_j)\cdot c_j\\ s_i& =c_i\cdot n_i+\sum _{j=i+1}^N\delta (n_i-1-n_j)\cdot s_j+\sum _{j=i+1}^N\delta (n_i+1-n_j)\cdot s_j\end{array}$$

其中，$n_i$表示第$i$个元素的值，$\delta (x)$函数的定义为当且仅当$x=0$是$\delta (x)=1$，其他时候均有$\delta (x)=0$。

此时，我们只需要另外再使用两个hashmap来记录当前所有值下对应的$\sum _{j=i+1}^N\delta (x-n_j)\cdot c_j$以及$\sum _{j=i+1}^N\delta (x-n_j)\cdot s_j$这两个值即可。

然后，我们就可以用一个逆序的动态规划快速得到我们最终的答案了。

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

MOD = 10**9+7

class Solution:
    def sumOfGoodSubsequences(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        cnt = [0 for _ in range(n)]
        s = [0 for _ in range(n)]
        cumcnt = defaultdict(int)
        cumsum = defaultdict(int)
        for i in range(n-1, -1, -1):
            cnt[i] = (1 + cumcnt[nums[i]-1] + cumcnt[nums[i]+1]) % MOD
            s[i] = (nums[i] + (cumcnt[nums[i]-1]+cumcnt[nums[i]+1])*nums[i] + cumsum[nums[i]-1] + cumsum[nums[i]+1]) % MOD
            
            cumcnt[nums[i]] += cnt[i]
            cumsum[nums[i]] += s[i]

        ans = 0
        for x in s:
            ans = (ans+x) % MOD
        return ans

提交代码评测得到：耗时655ms，占用内存41.6MB。