【C++】AVL树的了解和简单实现

news2024/11/14 4:36:39

AVL树的概念

AVL树介绍

平衡因子

AVL树的插入

平衡因子的更新

【1】平衡因子为0

【2】平衡因子为1/-1

【3】平衡因子为2/-2

选择的处理

旋转的原则

右单旋

具体的三种情况：

编辑所有情况的概念图：

对于父亲指针的处理：

左单旋

具体的三种情况：

左右双旋

具体情况例子：

右左双旋

代码示例：

AVL树的概念

AVL数是一棵具有二叉搜索树性质，并且左右子树的高度差不超过1的树
AVL树还可以是一棵空树

AVL树的发明者：G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis是两个前苏联的科学家

AVL树介绍

AVL树遵循二叉搜索树的规则：左边小于根节点，右边大于根节点
本次AVL树的实现借助平衡因子的概念

平衡因子

每个节点都有一个平衡因子，该平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度
可以说任何节点的平衡因子可能是0/1/-1
平衡因子并不是AVL树的必须品，但它可以作为一个观察风向标，使我们更加方便观察和控制AVL树的平衡

注意：如果平衡因子大于等于2，说明该树已经不平衡不再是一棵AVL树，需要调节平衡！

AVL树是高度平衡的二叉搜索树这个高度为什么设置为1，而不是0呢，因为存在某些特殊情况，高度无法达到0

AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，⾼度可以控制在logN，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN)，相比二叉搜索树有了本质的提升。

AVL树的插入

按照二叉搜索树的规则插入
根据新增的节点更新平衡因子

平衡因子的更新

更新规则：

平衡因⼦=右子树⾼度-左子树⾼度
只有⼦树高度变化才会影响当前结点平衡因⼦
插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左子树，parent平衡因⼦--
parent所在子树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：

【1】平衡因子为0

更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0或者1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束

【2】平衡因子为1/-1

更新后parent的平衡因⼦等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1或者0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新

更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束
最坏更新到根停⽌

【3】平衡因子为2/-2

更新后parent的平衡因⼦等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2或者-1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束

选择的处理

旋转的原则

保持搜索树的规则
让旋转的树从不平衡变平衡，其次降低旋转树的⾼度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋

右单旋

具体的三种情况：

所有情况的概念图：

触发右单旋的条件：parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1

右单旋的具体操作：5<b子树的数据<10，进行旋转时，我们将b子树作为10的左子树，然后10作为5的右子树，同样我们也需要更改他们的_parent节点，最后5节点和10节点的平衡因子为0

对于父亲指针的处理：

当我们完成上述的连接之后我们需要考虑subL的父亲节点是什么

1. 原本的parent是_root，那么新的subL将成为_root节点，其_parent->nullptr
2. 原本的parent是其他节点，那么subL的父亲节点需要判断原本的parent在他的_parent的左子树还是右子树，指向subL

左单旋

具体的三种情况：

其他情况处理与右单旋相似

左右双旋

具体情况例子：

以上如果我们只通过一个单旋操作是无法实现条件平衡的

先对subL进行一个左单旋，再对parent进行一个右单旋
根据图像观察我们可以发现，最后的步骤可以简化为将subLR的左子树给subL的右，bf++；subLR的右子树给parent的左，bf--；我们只需要记录subLR的bf即可，如果subLR的bf为0，那么所有参与节点的bf最后都为0；如果subLR的bf为1，那么subL->_bf=-1；如果subLR的bf为-1，那么parent->_bf=1；

右左双旋

先对subR进行一个右单旋，再对parent进行一个左单旋
根据图像观察我们可以发现，最后的步骤可以简化为将subRL的右子树给subR的左，bf--；subRL的左子树给parent的右，bf++；我们只需要记录subRL的bf即可，如果subRL的bf为0，那么所有参与节点的bf最后都为0；如果subRL的bf为1，那么parent->_bf=-1；如果subRL的bf为-1，那么subR->_bf=1；