本文记录连续型随机变量的分布，以及数字特征
均匀分布
设随机变量 X X X 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上均匀分布，则其概率密度函数（PDF）为：
f
(
x
)
=
{
1
b
−
a
,
if
a
≤
x
≤
b
0
,
otherwise
f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a}, & \text{if } a \leq x \leq b \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}
f(x)={b−a1,0,if a≤x≤botherwise
期望：
E
(
X
)
=
a
+
b
2
E(X) = \frac{a + b}{2}
E(X)=2a+b
方差：
D
(
X
)
=
(
b
−
a
)
2
12
D(X)=\frac{(b - a)^2}{12}
D(X)=12(b−a)2
指数分布
指数分布是一种连续概率分布，常用于描述事件发生的时间间隔，尤其是在独立的随机事件中，例如放射性衰变、电话呼叫到达等。它是泊松过程中的时间间隔分布。
如果随机变量
X
X
X 服从参数为
λ
\lambda
λ 的指数分布，则其概率密度函数（PDF）为：
f
(
x
)
=
{
λ
e
−
λ
x
,
if
x
≥
0
0
,
otherwise
f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & \text{if } x \geq 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}
f(x)={λe−λx,0,if x≥0otherwise
其中：
- λ > 0 \lambda > 0 λ>0 是事件发生的平均率（也称为速率参数）。
期望：
E
(
X
)
=
1
λ
E(X) = \frac{1}{\lambda}
E(X)=λ1
方差：
D
(
X
)
=
1
λ
2
D(X)=\frac{1}{\lambda^2}
D(X)=λ21
正态分布
正态分布（又称高斯分布）是一种重要的连续概率分布，广泛应用于统计学、自然科学和社会科学等领域。它通常用于描述自然现象中的随机变量，例如测量误差和自然特征的分布。
设随机变量 X X X 服从均值为 μ \mu μ 和方差为 σ 2 \sigma^2 σ2 的正态分布，记作 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu, \sigma^2) X∼N(μ,σ2)，则其概率密度函数（PDF）为：
f ( x ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} f(x)=2πσ21e−2σ2(x−μ)2
期望：
E
(
X
)
=
μ
E(X) = \mu
E(X)=μ
方差：
D
(
X
)
=
σ
2
D(X)=\sigma^2
D(X)=σ2
当 μ = 0 \mu = 0 μ=0 且 σ = 1 \sigma = 1 σ=1时，正态分布称为标准正态分布，记作 Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z \sim N(0, 1) Z∼N(0,1)，其概率密度函数为：
f ( z ) = 1 2 π e − z 2 2 f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} f(z)=2π1e−2z2
期望：
E
(
X
)
=
0
E(X) = 0
E(X)=0
方差：
D
(
X
)
=
1
D(X)=1
D(X)=1.
其他数字特征
设随机变量
X
X
X 的分布函数是
F
(
x
)
F(x)
F(x)
F
(
μ
1
)
=
P
{
X
≤
μ
1
}
=
1
2
F(\mu_1) = P\{X \leq \mu_1\} = \frac{1}{2}
F(μ1)=P{X≤μ1}=21
则
μ
1
\mu_1
μ1 称为中位数(medium)。
设随机变量 X X X 的概率密度函数是 f ( x ) f(x) f(x)，使得 f ( x ) f(x) f(x) 达到最大值的点 μ 2 \mu_2 μ2 称为众数(mode)。
对于正态分布来说， μ \mu μ 即使中位数，也是众数。
至此结束。
