题目

给出一棵有根树，问有多少个拓扑序满足 $p_i=i$ 。$n\le 5000$

样例

input1:
4
1 1 2
output1:
3 2 1 2
input2:
9
1 1 2 2 3 3 4 4 5
output2:
672 420 180 160 152 108 120 170 210

题解

考虑设 f[x][i] 表示还未在序列中插入 x 子树内除了 x 外的其他节点，满足 $p_x=i$ 的拓扑序个数。
那么对于某一个点 x ，答案就是 f[x][x]*C(n-x,sz[x]-1)*g[x] 。
其中 C(n-x,sz[x]-1) 表示 sz[x]-1 个元素只能放在位置 x 的后面。
g[x] 表示的是 x 的子树的拓扑序个数，这个可以一遍 dfs 轻松得到。

考虑 f[x][i] 到 f[y][j] 的转移：
发现除了 x 的子树外，其他所有 n-sz[x]+1 个点（包括 x）的拓扑序已经确定好了，现在要转移到 f[y][j] ，所以我们要先将 y 所在的子树剔除掉（n-sz[y]），然后再将 x 的其余旁支加进 x 的拓扑序后面（注意是位置 i，所以总共的位置是 n-sz[y]-i）。
那么转移系数就是
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-sz[y]-i}{sz[y_1],sz[y_2],...,sz[y_{k-1}],n-sz[y]-i-{\sum }_{i=1}^{k-1}sz[y_i]}\right)$$
其中 $y_1,...y_{k-1}$ 表示 x 节点的其他儿子。
其实最后的一个式子恰好就是 x 祖先的其他旁支在位置 i 之后的点数。
然后再将 y 节点自然插入到第 j 个位置，这里并不需要乘任何系数，当 $j>i$ 就可以转移，所以使用前缀和优化即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5010,mod=998244353;
int T,fac[N],inv[N],n,sz[N],fin[N],f[N][N],g[N];
int ans[N];
vector<int> V[N];

int ksm(int x,int t){
    int tot=1;
    while(t){
        if(t&1) tot=1ll*tot*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod;
        t>>=1;
    }
    return tot;
}

int C(int x,int y){
    return 1ll*fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}

void dfs(int x){
    sz[x]=0;g[x]=1;
    for(auto y:V[x]){
        dfs(y);
        sz[x]+=sz[y];
        g[x]=1ll*g[x]*g[y]%mod*C(sz[x],sz[y])%mod;
    }
    sz[x]++;
}

void gs(int x){
    // printf("%d:\n",x);
    // for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",f[x][i]);printf("\n");
    ans[x]=1ll*f[x][x]*C(n-x,sz[x]-1)%mod*g[x]%mod;
    int prod=1;
    for(auto y:V[x]) prod=1ll*prod*inv[sz[y]]%mod*g[y]%mod;
    for(auto y:V[x]){
        prod=1ll*prod*fac[sz[y]]%mod*ksm(g[y],mod-2)%mod;
        for(int i=1;i<=n-sz[x]+1;i++){
            f[y][i+1]=(f[y][i]+1ll*f[x][i]*fac[n-sz[y]-i]%mod*prod%mod*inv[n-i-sz[x]+1])%mod;
            // printf("%d\n",f[y][i+1]);
        }
        for(int i=n-sz[x]+2;i<n;i++) f[y][i+1]=f[y][i];
        gs(y);
        prod=1ll*prod*inv[sz[y]]%mod*g[y]%mod;
    
    }
}                       

int main(){
    //scanf("%d",&T);
    scanf("%d",&n);
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) fin[i]=1ll*fac[i]*inv[i-1]%mod;
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++) V[i].resize(0);
    for(int i=2;i<=n;i++) scanf("%d",&x),V[x].push_back(i); 
    f[1][1]=1;
    dfs(1);
    gs(1);
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);printf("\n");
}