【算法赌场】区间合并

news2024/11/6 11:32:50

区间问题

区间问题的引入

数学上,用两个数字可以确定数轴上的一个区间,较小的数字叫做区间的左端点,也叫区间起点,较大的数字叫做区间的右端点,也叫区间终点

在算法竞赛中,很多题目是以区间为单位去进行标记和运算的。例如,学校门口种了很多树,从坐标 0 到坐标 L 之间,整数位置都都一棵树。现在进行多次拔树操作,每次操作是把从位置 a 到 位置 b 的树拔掉(如果那个位置有树的话),进行了若干轮操作之后,问在哪些地方还有树(没有拔掉)。在这个问题中,就是以区间为单位的去计算的。用笨方法做,就是每一次拔树操作就写一个 for 循环,但是这样子的执行效率很低,很容易超时。

上述的 “拔树问题” 中,可以对多次操作记录成区间,然后 按顺序的去合并区间 ,合并不成功的时候意味着两个区间之间有一些“缝隙”,这些缝隙就是最终还保留着树的地方,我们对缝隙进行计算就可以得到正确的答案了。区间合并的过程中因为只需要对前项后项的两个端点进行比较,所以少了一个 for 循环,运行效率能大幅度提高。

区间的定义

可以用一个结构体去描述区间变量,区间只有两个重要因素:区间的左端点 和 区间的右端点,所以,定义结构体的时候就需要包含这两个信息(根据不同的题目,有时候可以扩展出新的结构体成员变量)

struct Zone
{
	int l,r;
};

两个区间的关系

如果没有任何的附加条件,两个区间 zone1 [l1l1​,r1r1​] 和 zone2 [l2l2​,r2r2​] 之间存在的关系是多种多样的。存在的情况越多,就越难写程序,可以理解到的是 if 语句的分支就会很多,一个小小的疏忽都会导致错误。所以,非常有必要对区间进行排序,然后再来做区间运算。常见的区间排序方法有两种:

  1. 按左端点从小到大排序
bool cmp1(Zone i,Zone j)
{
	return i.l<j.l||(i.l==j.l&&i.r<j.r);
}

按照左端点从小到大排序之后,两个区间之间的关系存在上图所描绘的 3 种情况,红色线条代表 前项,蓝色线条代表后项:

  • 情况(1): 前项包含后项
  • 情况(2): 前项和后项有重叠
  • 情况(3): 前项和后项分离
  1. 按有端点从小到大排序
bool cmp2(Zone i,Zone j)
{
	return i.r<j.r||(i.r==j.r&&i.l<j.l);
}

按照右端点从小到大排序之后,两个区间之间的关系存在上图所描绘的 3 种情况,红色线条代表 前项,蓝色线条代表后项:

  • 情况(1): 前项包含后项
  • 情况(2): 前项和后项有重叠
  • 情况(3): 前项和后项分离

不同的排序方法也是可以的,但是最终程序的写法也不一样。

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