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据说F是假题，就没看了。

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牛客小白月赛103（打表、二进制、几何、思维）

A. 小冰的正多边形

根据题意，判断是否可以构成正三角形。如可以，答案取周长最小的正三角形的周长。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){
    
    int ncase;
    cin >> ncase;
    
    while(ncase--){
        int n;
        cin >> n;
        map<int, int> m;
        int res = 1e9, x;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            cin >> x;
            m[x]++;
            if(m[x] == 3) res = min(res, 3 * x);
        }
        if(res == 1e9) cout << "no" << endl;
        else{
            cout << "yes" << endl;
            cout << res << endl;
        }
    }
    
    return 0;
}

B. 冰冰的电子邮箱

字符串处理，根据题意判断即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int check_char(char c){
    if(c >= 'a' && c <= 'z') return 1;
    if(c >= 'A' && c <= 'Z') return 1;
    if(c >= '0' && c <= '9') return 1;
    return 0;
}

int main(){
    
    int ncase;
    cin >> ncase;
    
    while(ncase--){
        string s;
        cin >> s;
        string a, b;
        int flag = 0;
        for(auto c : s){
            if(c == '@' && flag == 0) flag = 1;
            else if(flag == 0) a += c;
            else b += c;
        }
        int res = 1;
        
        if(a.size() == 0 || a.size() > 64) res = 0;
        for(int i = 0; i < a.size(); i++){
            if(check_char(a[i]) == 0){
                if(a[i] == '.'){
                    if(i == 0 || i+1 == a.size()) res = 0;
                    else continue;
                }
                else res = 0;
            }
        }
        
        if(b.size() == 0 || b.size() > 255) res = 0;
        for(int i = 0; i < b.size(); i++){
            if(check_char(b[i]) == 0){
                if(b[i] == '.' || b[i] == '-'){
                    if(i == 0 || i+1 == b.size()) res = 0;
                    else continue;
                }
                else res = 0;
            }
        }
        
        cout << (res ? "Yes" : "No") << endl;
        
    }
    
    return 0;
}

C. 冰冰的异或（打表、二进制）

观察输入 n 的范围，单次查询需要在O(1) 或 O(log(n)) 的时间内，打表观察规律，$res=2^{\lceil log(n)\rceil },n>2$。

PS：这里的打表，即暴力枚举对于每一个 n，观察 n 与其对应的答案的规律。

对于规律的证明：

对于 4 为二进制，取X = 1000，设 Y = 0ABC， ABC为任意的01，此时，可以得到 $[1000_2,1111_2]$ 之间的所有数。

取X = 0100，设 Y = 00BC， BC为任意的01，此时，可以得到 $[0100_2,0111_2]$ 之间的所有数。

取X = 0010，设 Y = 000C， C为任意的01，此时，可以得到 $[0010_2,0011_2]$ 之间的所有数。

取X = 0001，设 Y = 0000， C为任意的01，此时，可以得到 $[0001_2,0001_2]$ 之间的所有数。

根据题意，Y ≠ 0，故而，上述四种情况中，需要排除左端点 $1000_2、0100_2、0010_2、0001_2$ 。即，除这四个数外，其他数都可以被覆盖。

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考虑覆盖这四个数：

即，$0011_2⨁0010_2=0001_2，0011_2⨁0001_2=0010_2，0101_2⨁0001_2=0100_2$。

由于$0011_2⨁0010_2=0001_2$，当 n 大于 2 时，才能构造出 1。

同时，可以发现，$1000_2$ 是无法用 1 ~ n 的数进行异或得到。

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综上，当 n > 2时，对于 n：

• n > 2 时，$2^{\lceil log(n)\rceil }$ 是无法被表示的为$2^{\lceil log(n)\rceil }$ ，即 n 在二进制表示时的最高位
• n <= 2 时，1 无法被表示

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){
    
    int ncase;
    cin >> ncase;
    
    while(ncase--){
        long long n;
        cin >> n;
        long long res = 0, x = n;
        while(x) res++, x /= 2;
        res -= (pow(2, res-1) == n);
        if(n <= 2) cout << 1 << endl;
        else cout << (long long)(pow(2, res)) << endl;
    }
    
    return 0;
}

D. 冰冰的分界线（几何、浮点数处理）

枚举所有点对，对能构成的直线去重即可。（”点对“：题目给出n个点中，任意两个不同的点）

显然难点在于：如何表示直线？浮点数如何处理？（浮点数存储原理，不懂的自行百度）

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题目所求的直线，就是每个点对所连成的线段的垂线所在的直线。

如下图所示，y1就是点对AB所满足的直线。(y1 垂直于 AB)

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两点确定一条直线，但是对于直线y1，已知只有一个点C。

考虑更多的信息，y1是线段AB的垂线，即 $k_{AB}\ast k_{y1}=-1$，求出线段AB所在直线的斜率 k 即可得到 y1的斜率$k_{y1}$。

有点 C 的坐标和斜率斜率$k_{y1}$，即可确认 y1。

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对于斜率k，肯定是不能使用浮点数存储的，考虑使用方向向量替代斜率。

$k=B/A,B=(y1-y2),A=(x1-x2)$，其中 $(A,B)$ 即为直线的方向向量。

对于点对AB，求出其方向向量$(A,B)$，根据 $k_{AB}\ast k_{y1}=-1$，得到 y1 的方向向量。

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根据 $y=kx+b$，求出 b，即可确定唯一的直线。

对于 $y=kx+b$，带入 $k=B/A$ ，得到 $y=B/A\ast x+b$。

显然，直接表示 $b$ 容易出现小数。为了避免小数对等式两边同乘A，得到 $Ay=B\ast x+Ab$。

使用 $Ab$ 与直接使用 $b$ 有相同的效果。

对于相同的$(A,B)$，记录不同的 $Ab$ 的数量，求和即可。

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最后一点细节，向量$(A,B)$而言：

比如 $(1,2)、(2,4)、(-3,-6)$，他们三个表示的是同一个向量，需要统一。

令 $A$ 大于零，$A$ 和 $B$ 都除 $gcd(abs(A),abs(B))$ 即可。

同时，注意A无穷大的情况。(k不存在，x1 = x2)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1e3 + 5;
int x[maxn], y[maxn];

map<pair<int, int>, int> ID;
set<int> s[maxn * maxn];

int ids = 0;
int get_id(pair<int, int> p){
	if(ID[p] == 0) return ID[p] = ++ids;
	else return ID[p];
}

int gcd(int a, int b){
	if(b == 0) return a;
	else return gcd(b, a % b);
}

void init(){
	for(int i = 0; i <= ids; i++) s[i].clear();
	ids = 0; ID.clear();	
}

int main(){
    
	int ncase;
	cin >> ncase;
	
	while(ncase--){
		int n;
		cin >> n;
		for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> x[i];
		for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> y[i];
		
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			for(int j = i+1; j <= n; j++){
				int A = -1 * (y[i] - y[j]), B = x[i] - x[j]; // 原直线的法向量，即其垂线的方向向量 
				if(A == 0) s[0].insert(x[j] + x[i]); 		 // 一种特殊情况. k 无穷大 
				else{
					if(A < 0) A *= -1, B *= -1;
					int g = gcd(abs(A), abs(B));
                    A = A / g, B = B / g; // 计算最简的方向向量 
					pair<int, int> p = {A, B}; 
					int b = A * (y[i]+y[j]) - B * (x[i]+x[j]); // 计算 2Ab 
					s[get_id(p)].insert(b);
				}
			}
		}
		
		int res = 0;
		for(int i = 0; i <= ids; i++) res += s[i].size();
		cout << res << endl;
		
		init();
	}
    
    return 0;
}

E. 冰冰的 GCD(调和级数、思维)

根据题意，预处理出每个 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的值，O(1) 查询即可。

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对于 $f(x)$的预处理：

逆序遍历排列$b$，对于每个 $b_i$，设 $p$ 表示满足 $gcd(b_i,b_p)\ne 1$ 的第一个位置，初始为 $n-1$。

枚举 $b_i$ 的所有因子$x$。如因子$x$，在之前的枚举出现过，令$p=min(p,v[x])$。随后，更新 $v[x]$，令 $v[x]=i$。

枚举完所有因子后，

• 如 $p=n-1$，则 $f(i)=b_i$
• 否则，$f(i)$ = $gcd(b_i,b_p)$

时间复杂度：$n\ast \sqrt{(}n)$

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对于 $g(x)$ 的预处理：

顺序遍历排列 c，对于每个 $c_i$，枚举 i 的倍数，判断其倍数的位置在排列 a 中是否大于 c_i 即可。

时间复杂度： $n\ast log(n)$ ，调和级数，自行百度。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 5;
int a[maxn], b[maxn], c[maxn];
int pa[maxn], pb[maxn];
int f[maxn], g[maxn], v[maxn];

int gcd(int a, int b){
    if(b == 0) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}


int main(){

    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> c[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) pb[b[i]] = i;
    for(int i = 1; i <= n; i++) pa[a[i]] = i;
    
	for(int i = n; i >= 1; i--){
		int x = b[i], p = n+1;
		for(int j = 1; j * j <= x; j++){ // 枚举 x 的因子 
			if(x % j == 0){
				if(j != 1 && v[j] > i) p = min(p, v[j]);
				if(v[x/j] > i) p = min(p, v[x/j]);
				v[j] = v[x/j] = i;
			}
		}
		f[i] = (p == n+1 ? b[i] : gcd(b[i], b[p]));
	}
    
    
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){ // nlog(n)
        for(int j = i; j <= n; j += i){
            if(pa[j] >= c[i]){
                g[i]++;
            }
        }
    }
    
    while(m--){
        int x;
        cin >> x;
        cout << g[f[x]] << endl;
    }
    
    return 0;
}