【NOIP提高组】加分二叉树
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设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第j个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：
subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数
若某个子树为主，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空
子树。
试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；
（1）tree的最高加分
（2）tree的前序遍历
输入
第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。
第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。
输出
第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。
第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。
样例输入
5
5 7 1 2 10
样例输出
145
3 1 2 4 5
以下是用 C 语言实现的代码：
#include <stdio.h>
#define MAX_NODE 60
// 定义最大节点数
int score[MAX_NODE][MAX_NODE]; // score 存储子树的最大加分
int midNode[MAX_NODE][MAX_NODE]; // midNode 存储子树最大加分时的根节点位置
int nodeVal[MAX_NODE]; // nodeVal 存储节点的分数
int numNodes; // numNodes 代表节点总数
// 递归计算最大加分函数
int findMaxScore(int start, int end) {
// 如果区间无效，返回 1
if (start > end)
return 1;
// 如果已经计算过该区间的最大加分，直接返回结果
if (score[start][end])
return score[start][end];
// 如果区间只有一个节点，最大加分就是该节点的分数
if (start == end) {
score[start][end] = nodeVal[start];
} else {
int tempScore;
for (int i = start; i <= end; ++i) {
// 递归计算左右子树的最大加分并加上当前节点的分数
tempScore = findMaxScore(start, i - 1) * findMaxScore(i + 1, end) + nodeVal[i];
// 更新最大加分和对应的中间节点
if (tempScore > score[start][end]) {
score[start][end] = tempScore;
midNode[start][end] = i;
}
}
}
return score[start][end];
}
// 输出前序遍历函数
void printPreorder(int start, int end) {
// 如果区间无效，直接返回
if (start > end)
return;
// 如果区间只有一个节点，直接输出该节点
if (start == end) {
printf("%d ", start);
} else {
// 输出中间节点
printf("%d ", midNode[start][end]);
// 递归输出左子树和右子树
printPreorder(start, midNode[start][end] - 1);
printPreorder(midNode[start][end] + 1, end);
}
}
int main() {
scanf("%d", &numNodes);
for (int i = 1; i <= numNodes; ++i) {
scanf("%d", &nodeVal[i]);
}
printf("%d\n", findMaxScore(1, numNodes));
printPreorder(1, numNodes);
return 0;
}
以下是用 C++实现的代码：
#include <iostream>
const int MAX_N = 60;
// 定义最大节点数
int score[MAX_N][MAX_N]; // score 存储子树的最大加分
int midNode[MAX_N][MAX_N]; // midNode 存储子树最大加分时的根节点位置
int nodeVal[MAX_N]; // nodeVal 存储节点的分数
int numNodes; // numNodes 代表节点总数
// 递归计算最大加分函数
int findMaxScore(int start, int end) {
// 如果区间无效，返回 1
if (start > end)
return 1;
// 如果已经计算过该区间的最大加分，直接返回结果
if (score[start][end])
return score[start][end];
// 如果区间只有一个节点，最大加分就是该节点的分数
if (start == end) {
score[start][end] = nodeVal[start];
} else {
int tempScore;
for (int i = start; i <= end; ++i) {
// 递归计算左右子树的最大加分并加上当前节点的分数
tempScore = findMaxScore(start, i - 1) * findMaxScore(i + 1, end) + nodeVal[i];
// 更新最大加分和对应的中间节点
if (tempScore > score[start][end]) {
score[start][end] = tempScore;
midNode[start][end] = i;
}
}
}
return score[start][end];
}
// 输出前序遍历函数
void printPreorder(int start, int end) {
// 如果区间无效，直接返回
if (start > end)
return;
// 如果区间只有一个节点，直接输出该节点
if (start == end) {
std::cout << start << " ";
} else {
// 输出中间节点
std::cout << midNode[start][end] << " ";
// 递归输出左子树和右子树
printPreorder(start, midNode[start][end] - 1);
printPreorder(midNode[start][end] + 1, end);
}
}
int main() {
std::cin >> numNodes;
for (int i = 1; i <= numNodes; ++i) {
std::cin >> nodeVal[i];
}
std::cout << findMaxScore(1, numNodes) << std::endl;
printPreorder(1, numNodes);
return 0;
}
以下是用 Java 实现的代码：
import java.util.Scanner;
class BinaryTreeScoreCalculator {
// 定义最大节点数
private static final int MAX_N = 60;
// 存储子树的最大加分
static int[][] score = new int[MAX_N][MAX_N];
// 存储子树最大加分时的根节点位置
static int[][] midNode = new int[MAX_N][MAX_N];
// 存储节点的分数
static int[] nodeVal = new int[MAX_N];
// 代表节点总数
static int numNodes;
// 递归计算最大加分函数
static int findMaxScore(int start, int end) {
// 如果区间无效，返回 1
if (start > end)
return 1;
// 如果已经计算过该区间的最大加分，直接返回结果
if (score[start][end]!= 0)
return score[start][end];
// 如果区间只有一个节点，最大加分就是该节点的分数
if (start == end) {
score[start][end] = nodeVal[start];
} else {
int tempScore;
for (int i = start; i <= end; ++i) {
// 递归计算左右子树的最大加分并加上当前节点的分数
tempScore = findMaxScore(start, i - 1) * findMaxScore(i + 1, end) + nodeVal[i];
// 更新最大加分和对应的中间节点
if (tempScore > score[start][end]) {
score[start][end] = tempScore;
midNode[start][end] = i;
}
}
}
return score[start][end];
}
// 输出前序遍历函数
static void printPreorder(int start, int end) {
// 如果区间无效，直接返回
if (start > end)
return;
// 如果区间只有一个节点，直接输出该节点
if (start == end) {
System.out.print(start + " ");
} else {
// 输出中间节点
System.out.print(midNode[start][end] + " ");
// 递归输出左子树和右子树
printPreorder(start, midNode[start][end] - 1);
printPreorder(midNode[start][end] + 1, end);
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
numNodes = scanner.nextInt();
for (int i = 1; i <= numNodes; ++i) {
nodeVal[i] = scanner.nextInt();
}
System.out.println(findMaxScore(1, numNodes));
printPreorder(1, numNodes);
}
}
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