一维dp数组（滚动数组）

leetcode中无纯0-1背包问题，可从卡码网上查看题目46.0-1背包问题

一维数组来源于二维数组，其本质是对一维数组进行压缩了，压缩后需要注意在进行背包容量循环的时候采用后序遍历，而不能采用前序遍历。

在使用二维数组的时候，递推公式为

dp[i][j] =max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])

表示在0-i个物品中任意挑选放进容量为j的背包里所能够获得的最大价值

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

还是动规五步曲

1.确定dp数组的定义

dp[j]表示容量为j的背包所能够背的最大价值是dp[j]，继续沿用j来表示背包容量，和前面的二维数组能够有所对应，也便于思维上思考

2.一维dp数组的递推公式

二维的递推公式：dp[i][j] =max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])

去掉i这个维度得：dp[j]  = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

dp[j]表示容量为j的背包所能背的最大价值

dp[j-weight[i]]表示容量为j-weight[i]所能够背的最大价值

dp[j-weight[i]]+value[i]表示容量为j-weight[i]的背包里装了第i个物品后的最大价值

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值

3.初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

dp[j]表示容量为j的背包能够背的最大价值是dp[j]

当j=0的时候，即背包容量为0，那就是dp[0] = 0

其他的均可初始化为0

4.一维dp数组的遍历顺序

for i in range(n):
    for j in range(bagweight,weight[i]-1,-1):
        dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

切记这里一维数组中遍历的时候只能先遍历物品，再遍历背包容量，并且背包的容量只能后序遍历

5.举例dp数组

代码 

n,bagweight = map(int, input().split())
weight = list(map(int, input().split()))
value = list(map(int, input().split()))

#dp[j]表示容量为j的背包所背的最大价值
dp = [0]*(bagweight+1)
dp[0] = 0

for i in range(n):
    for j in range(bagweight,weight[i]-1,-1):
        dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

print(dp[bagweight])