二维差分

二维差分应用题目：矩形区域加值

题目描述

给定一个大小为 $n\times n$ 的二维矩阵，初始时矩阵中的所有元素都为 0。你需要进行 $m$ 次操作，每次操作向某一个矩形区域内的所有元素加上一个固定的值。请你在所有操作完成后输出最终的矩阵。

输入格式

• 第一行包含两个正整数 $n$ 和 $m$，表示矩阵的大小和操作的次数。
• 接下来 $m$ 行，每行包含五个整数 $x_1,y_1,x_2,y_2,c$，表示向以 $(x_1,y_1)$ 为左上角、$(x_2,y_2)$ 为右下角的矩形区域内的所有元素加上值 $c$。

输出格式

输出 $n\times n$ 的矩阵，表示在所有操作完成后每个位置的值。

样例输入

5 3
1 1 3 3 2
2 2 5 5 3
3 1 4 4 1

样例输出

2 2 2 0 0
2 5 5 3 0
3 6 6 4 3
1 4 4 4 3
0 3 3 3 3

数据范围

• 对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 1000$，$1\le m\le 10000$。
• $1\le x_1,y_1,x_2,y_2\le n$，保证输入的矩形区域是合法的，即 $x_1\le x_2$，$y_1\le y_2$。
• $-1000\le c\le 1000$。

一维差分

一维差分应用题目：区间加值

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的数组，初始时数组中的所有元素都为 0。你需要进行 $m$ 次操作，每次操作会将一个区间内的所有元素加上某个值。请你在所有操作完成后，输出最终的数组。

输入格式

• 第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$，表示数组的长度和操作的次数。
• 接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $l,r,c$，表示将数组中从位置 $l$ 到位置 $r$ 的所有元素加上值 $c$，即 $a[l]$ 到 $a[r]$ 加上 $c$。

输出格式

输出一行，包含 $n$ 个整数，表示操作完成后数组的最终值。

样例输入

5 3
1 3 2
2 4 3
3 5 1

样例输出

2 5 6 4 1

题目解析

初始时数组为 [0, 0, 0, 0, 0]，每次进行区间加值操作后数组的变化如下：

1. 第一次操作：[1, 3, 2]，将第1到第3个位置加上2，数组变为 [2, 2, 2, 0, 0]。
2. 第二次操作：[2, 4, 3]，将第2到第4个位置加上3，数组变为 [2, 5, 5, 3, 0]。
3. 第三次操作：[3, 5, 1]，将第3到第5个位置加上1，数组变为 [2, 5, 6, 4, 1]。

可以使用一维差分数组来高效解决这个问题。利用差分数组，我们可以将每次的区间加值操作转换为在区间的端点进行增量操作，最终通过累加差分数组来得到结果。

数据范围

• 对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 100000$，$-1000\le c\le 1000$。