动态规划之打家劫舍

news2024/10/20 20:25:22

大纲

- 题目
- 思路
- - - - 第一步：确定下标含义
      - 第二步：确定递推公式
      - 第二步：dp数组如何初始化
      - 第三步：确定遍历顺序
      - 第四步：举例推导dp数组
- 总结

最近有人询问我 LeetCode 「打家劫舍」系列问题（英文版叫 House Robber）怎么做，上网调研后发现，这一系列题目的点赞非常之高，是比较有代表性和技巧性的动态规划题目，今天就来聊聊这道题目。

以下三道题目，可在看完本文后，练练手
打家劫舍 I
打家劫舍 II
打家劫舍 III

打家劫舍I就是其他衍生题的根，所以我就以打家劫舍I为例题讲解

题目

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你不触动警报装置的情况下，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12 解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号- 房屋 (金额 = 1)。偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示：

0 <= nums.length <= 100
0 <= nums[i] <= 400

思路

对于初学者，而言，看过题之后，肯定会有一点朦胧。为什么呢(ο´･д･)??
初步分析以后，能看到，一间房屋是否偷取，取决于上一间房屋与上两间房屋！
到此为止，就更能感受到一种纠缠的关系，不过通过这种关系，就能顺理成章的发现递推关系。所以这就涉及到了动态规划。

有一定基础的人都知道，动态规划算是一种公式题型，对应的就会出来一套公式
我比较佩服的一个博主Carl，他把动归总结成了五部曲，如下:

确定下标含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

第一步：确定下标含义

我们设一个dp数组，vector dp(nums.size(),0);
其中dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

第二步：确定递推公式

假设一下，现在处于第i个节点，
如果取上一个节点的情况下，因为本节点不能偷，故：dp[i]=dp[i-1];
如果不取上一个节点，那就能偷本节点，故有price[i]：dp[i]=dp[i-2]+nums[i];
综合而言，就得出来：dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

第二步：dp数组如何初始化

从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]
故：dp[0] 肯定时 dp[0] = nums[0]
而dp[1]，为了取最大值 dp[1] = max(dp[0],dp[1]);

vector<int> dp(nums.size());
dp[0] = nums[0];
dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

第三步：确定遍历顺序

dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历

for (int i = 2; i < nums.size(); i++) {
    dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
}

第四步：举例推导dp数组

这里就不细讲喽，一般是在出错时，把dp数组打印出来，分析哪里错了。

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        // 特殊情况
        if(nums.size()==0) return 0;
        if(nums.size()==1) return nums[0];

        // 初始化
        vector<int> dp(nums.size(),0);
        dp[0]=nums[0];
        dp[1]=max(nums[0],nums[1]);

        // 遍历方式
        for(int i=2; i<nums.size(); ++i){
            dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        }
        
        return dp[nums.size()-1];
    }
};