[USACO4.4] 追查坏牛奶 Pollutant Control

#图论 #流 #最小割

题目描述

你第一天接手三鹿牛奶公司就发生了一件倒霉的事情：公司不小心发送了一批有三聚氰胺的牛奶。

很不幸，你发现这件事的时候，有三聚氰胺的牛奶已经进入了送货网。这个送货网很大，而且关系复杂。你知道这批牛奶要发给哪个零售商，但是要把这批牛奶送到他手中有许多种途径。

送货网由一些仓库和运输卡车组成，每辆卡车都在各自固定的两个仓库之间单向运输牛奶。在追查这些有三聚氰胺的牛奶的时候，有必要保证它不被送到零售商手里，所以必须使某些运输卡车停止运输，但是停止每辆卡车都会有一定的经济损失。

你的任务是，在保证坏牛奶不送到零售商的前提下，制定出停止卡车运输的方案，使损失最小。

输入格式

第 $1$ 行两个整数 $N$、$M$，$N$ 表示仓库的数目，$M$ 表示运输卡车的数量。仓库 $1$ 代表发货工厂，仓库 $N$ 代表有三聚氰胺的牛奶要发往的零售商。

第 $2\sim M+1$ 行，每行 $3$ 个整数 $S_i$、$E_i$ 和 $C_i$。其中 $S_i$、$E_i$ 分别表示这辆卡车的出发仓库和目的仓库。$C_i$ 表示让这辆卡车停止运输的损失。

输出格式

两个整数 $C$ 和 $T$，$C$ 表示最小的损失，$T$ 表示在损失最小的前提下，最少要停止的卡车数。

样例 #1

样例输入 #1

4 5
1 3 100
3 2 50
2 4 60
1 2 40
2 3 80

样例输出 #1

60 1

提示

对于 $100\%$ 的数据，满足 $2\le N\le 32$，$0\le M\le 10^3$，$1\le S_i\le N$，$1\le E_i\le N$，$0\le C_i\le 2\times 10^6$。

题目翻译来自 NOCOW。

USACO Training Section 4.4

思路

在最小割的前提下，还需要求最小割的割的边数。

由于最大边数$M\le 10^3$，因此我们对原来的权值变为$w\ast mod+1$，其中$mod$设置为大于$10^3$的数，这样跑完$Dinic$后得到$ans$，那么最小割为$ans/mod$，割的边数为$ans\%mod$。

因为$mod>10^3$，因此不会进位，这样是合法的，时间复杂度为$O(n{m}^2)$

代码

const int N = 2e5 + 10;
const int Mod = 2000;

struct edge {
	int u, v, c;
};

vector<edge>e;
vector<int>h[N];
int d[N], cur[N];
int n, m, S, T;
void add(int u, int v, int c) {
	e.push_back({ u,v,c });
	h[u].push_back(e.size() - 1);
}

bool bfs() { //对点分层，找增广路
	memset(d, 0, sizeof d);
	queue<int>q;
	q.push(S); d[S] = 1;
	while (q.size()) {
		int u = q.front(); q.pop();
		for (int i = 0; i < h[u].size(); i++) {
			int j = h[u][i];
			int v = e[j].v, c = e[j].c;
			if (d[v] == 0 && c > 0) {
				d[v] = d[u] + 1;
				q.push(v);
				if (v == T)return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int dfs(int u, int mf) { //多路增广
	if (u == T) return mf;
	int sum = 0;
	for (int i = cur[u]; i < h[u].size(); i++) {
		cur[u] = i; //记住u的当前弧
		int j = h[u][i];
		int v = e[j].v, c = e[j].c;
		if (d[v] == d[u] + 1 && c > 0) {
			int f = dfs(v, min(c, mf));
			e[j].c -= f;
			e[j ^ 1].c += f; //更新残留网
			sum += f;
			mf -= f;
			if (mf == 0)break;
		}
	}
	if (sum == 0)d[u] = 0;
	return sum;
}

int dinic() {
	int res = 0;
	while (bfs()) {
		memset(cur, 0, sizeof cur);
		res += dfs(S, inf);
	}

	return res;
}

void solve() {
	cin >> n >> m;

	S = 1, T = n;

	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		int u, v, c;
		cin >> u >> v >> c;
		add(u, v, c * Mod + 1);
		add(v, u, 0);
	}

	int res = dinic();

	std::cout << res / Mod << " " << res % Mod << "\n";
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	std::cin.tie(0);
	std::cout.tie(0);

	int t = 1;
	//cin >> t;

	while (t--) {
		solve();
	}
};